2.3.2 双曲线的几何性质一、基础过关1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是________．2．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是__________．3．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________．4．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.5．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为________．6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为____________．7．已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是________．二、能力提升8．已知圆C过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．9.如图所示，ABCDEF为正六边形，则以F、C为焦点，且经过A、E、D、B四点的双曲线的离心率为______．10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3,2)；(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．11．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．12．求证：双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．三、探究与拓展13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,-5-\n0)．若双曲线上存在点P，使＝，求该双曲线的离心率的取值范围．-5-\n答案1．42．y＝±x3．24．－5.6.－＝17．(4，＋∞)8.9.＋110．解 (1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点(－3,2)代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝，即－＝1.(2)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意易求c＝2.又双曲线过点(3，2)，∴－＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为－＝1.11．解 椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为8.①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∴ 解得-5-\n∴双曲线的标准方程为－＝1.②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∴ 解得∴双曲线的标准方程为－＝1.由①②可知，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.12．证明 设P(x0，y0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－ay＝0，可得P到bx＋ay＝0的距离d1＝，P到bx－ay＝0的距离d2＝.∴d1d2＝·＝.又P在双曲线上，∴－＝1，即b2x－a2y＝a2b2，∴d1d2＝.故P到两条渐近线的距离之积为定值．13．解 如图，设PF1＝m，PF2＝n，由题意及正弦定理得＝，∴n＝m.又m－n＝2a，∴m－m＝2a，即m＝2a，∴m＝.又m>c＋a，∴>c＋a，即c2－2ac－a2<0，-5-\n∴e2－2e－1<0，∴1－<e<1＋.又e>1，∴1<e<1＋.-5-
