空间向量的数量积运算1.（多选题）已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积一定为零的是()A.PC与BDB.DA与PBC.PD与ACD.PA与CD答案：BD2.（2021北京海淀高二期末）已知四面体ABCD的棱长都是2,点E是AD的中点,则BA⋅CE=()A.1B.-1C.3D.-3答案：A3.（2020四川雅安中学高二月考）若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形,则cos<oa,bc＞的值为()a.12b.22c.-12d.0答案：d4.（多选题）设a、b为空间中的任意两个非零向量,则下列各式正确的是()a.a2=|a|2b.a⋅ba2=bac.(a⋅b)2=a2⋅b2d.(a-b)2=a2-2a⋅b+b2答案：ad5.已知在平行六面体abcd-a'b'c'd'中,ab=3,ad=4,aa'=5,∠bad=120∘,∠baa'=60∘,∠daa'=90∘,则ac'的长为()a.52b.53c.58d.53答案：d6.已知在空间四边形abcd中,∠acd=∠bdc=90∘,且ab=2,cd=1,则cd在ab上的投影向量是()a.14abb.12abc.14d.12答案：a6,7.已知在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,上底面a1b1c1d1的中心为o1,则ao1⋅ac的值为()a.-1b.0c.1d.2答案：c8.如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,e为d1c1的中点,则向量a1c1在向量de上的投影向量是()a.1010deb.105dec.55ded.25de答案：d解析：设正方体的棱长为1,ab=a,ad=b,aa1=c,则|a|=|b|=|c|=1,a⋅b=b⋅c=c⋅a=0.∵a1c1=ac=ab+ad=a+b,de=dd1+d1e=dd1+12d1c1=c+12a,∴a1c1⋅de=(a+b)⋅(c+12a)=a⋅c+b⋅c+12a2+12a⋅b=12a2=12,|de|=12+(12)2=52,∴向量a1c1在向量de上的投影向量是|a1c1|cos＜a1c1,de>DE|DE|=25DE.9.（多选题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的有()A.四边形ABC1D1的面积为|AB||BC1|B.AD1与A1B的夹角为60∘C.(AA1+A1D1+A1B1)2=3A1B12D.A1C⋅(A1B1-A1D1)=0答案：ACD10.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60∘,则AD1⋅AC=;|AC1|=.6,答案：3;10素养提升练11.已知MN是正方体的内切球的一条直径,点P在正方体的表面上运动,正方体的棱长是2,则PM⋅PN的取值范围为()A.[0,4]B.[0,2]C.[1,4]D.[1,2]答案：B解析：设正方体的内切球的球心为O,则OM=ON=1,PM⋅PN=(PO+OM)⋅(PO+ON)=PO2+PO⋅(OM+ON)+OM⋅ON,∵MN为该正方体的内切球的一条直径,∴OM+ON=0,OM⋅ON=-1,∴PM⋅PN=PO2-1.又P在正方体的表面上运动,∴当P为正方体的顶点时,|PO|最大,最大值为3;当P为内切球与正方体的切点时,|PO|最小,最小值为1,∴PO2-1∈[0,2],即PM⋅PN的取值范围为[0,2].12.在平行四边形ABCD中,∠A=60∘,AB=2,AD=1,若M、N分别是BC、CD上的点,且满足|BM||BC|=|CN||CD|,则AM⋅AN的取值范围是()A.[1,3]B.[1,5]C.[2,4]D.[2,5]答案：D解析：设|BM||BC|=|CN||CD|=λ,λ∈[0,1],AM⋅AN=(AB+BM)⋅(AD+DN)=(AB+λAD)⋅[AD+(1-λ)AB]=(1-λ)AB2+λAD2+(1+λ-λ2)AB⋅AD=4(1-λ)+λ+(1+λ-λ2)×12×2×1=-λ2-2λ+5,由二次函数的性质易知AM⋅AN∈[2,5].13.如图,四个棱长均为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面其余的八个点,则集合{y|y=AB⋅APi,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为()6,A.1B.2C.4D.8答案：A解析：由题图可知,APi=AB+BPi,则AB⋅APi=AB⋅(AB+BPi)=AB2+AB⋅BPi,因为AB⊥BPi,所以AB⋅BPi=0,又正方体的棱长均为1,所以AB⋅APi=AB2+AB⋅BPi=1+0=1,故集合{y|y=AB⋅APi,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为1,故选A.14.已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则|BD|=()A.102B.62C.52D.2答案：A解析：过点B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N,易得AM=12,BM=32,CN=12,DN=32,MN=1.因为BD=BM+MN+ND,所以|BD|2=(BM+MN+ND)2=|BM|2+|MN|2+|ND|2+2(BM⋅MN+MN⋅ND+BM⋅ND)=(32)2+12+(32)2+2×(0+0+0)=52,所以|BD|=102.15.如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=2,EF=4,CA=CB=3,若AB⋅AE+AC⋅AF=7,则EF与BC夹角的余弦值等于.答案：166,解析：由题意可得BC2=9=(AC-AB)2=AC2+AB2-2AC⋅AB=9+4-2AC⋅AB,∴AC⋅AB=2.AB⋅AE+AC⋅AF=7可得AB⋅(AB+BE)+AC⋅(AB+BF)=AB2+AB⋅BE+AC⋅AB+AC⋅BF=4+AB⋅(-BF)+2+AC⋅BF=6+BF⋅(AC-AB)=6+12EF⋅BC=7.∴EF⋅BC=2,即4×3×cos＜EF,BC＞=2,∴cos＜EF,BC＞=16.创新拓展练16.（2021山东济宁实验中学高二期中）如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60∘,AB=AD=AA1=1.（1）求A1C的长;（2）求证：A1C⊥BD.命题分析本题考查了利用空间向量求线段的长度,考查了利用空间向量证明线线垂直,渗透了数学运算、逻辑推理的素养.答题要领（1）先设AB=a,AD=b,AA1=c,得到A1C=a+b-c,再平方即可得到答案.（2）根据第一问得到BD=b-a,计算A1C⋅BD=0,从而得到A1C⊥BD.详细解析（1）设AB=a,AD=b,AA1=c,则A1C=a+b-c.因为∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60∘,AB=AD=AA1=1,所以a2=b2=c2=1,a⋅b=a⋅c=b⋅c=1×1×cos 60∘=12,所以|A1C|2=A1C2=(a+b-c)2=a2+b2+c2+2a⋅b-2a⋅c-2b⋅c=1+1+1+1-1-1=2,故A1C=2.（2）证明：由（1）可知BD=b-a,所以A1C⋅BD=(a+b-c)(b-a)=a⋅b-a2+b2-a⋅b-b⋅c+a⋅c=0,6,即A1C⊥BD.解题感悟长方体、四面体、平行六面体等是研究空间向量的常见几何体,要熟悉其结构特点,善于挖掘隐含的垂直或特殊角等条件.6</oa,bc＞的值为()a.12b.22c.-12d.0答案：d4.（多选题）设a、b为空间中的任意两个非零向量,则下列各式正确的是()a.a2=|a|2b.a⋅ba2=bac.(a⋅b)2=a2⋅b2d.(a-b)2=a2-2a⋅b+b2答案：ad5.已知在平行六面体abcd-a'b'c'd'中,ab=3,ad=4,aa'=5,∠bad=120∘,∠baa'=60∘,∠daa'=90∘,则ac'的长为()a.52b.53c.58d.53答案：d6.已知在空间四边形abcd中,∠acd=∠bdc=90∘,且ab=2,cd=1,则cd在ab上的投影向量是()a.14abb.12abc.14d.12答案：a6,7.已知在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,上底面a1b1c1d1的中心为o1,则ao1⋅ac的值为()a.-1b.0c.1d.2答案：c8.如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,e为d1c1的中点,则向量a1c1在向量de上的投影向量是()a.1010deb.105dec.55ded.25de答案：d解析：设正方体的棱长为1,ab=a,ad=b,aa1=c,则|a|=|b|=|c|=1,a⋅b=b⋅c=c⋅a=0.∵a1c1=ac=ab+ad=a+b,de=dd1+d1e=dd1+12d1c1=c+12a,∴a1c1⋅de=(a+b)⋅(c+12a)=a⋅c+b⋅c+12a2+12a⋅b=12a2=12,|de|=12+(12)2=52,∴向量a1c1在向量de上的投影向量是|a1c1|cos＜a1c1,de>
