空间向量运算的坐标表示1.（2020湖北武汉育才中学高二段考）已知向量a=(2,1,2),b=(-2,x,2),c=(4,-2,1),若b⊥(a+c),则x的值为()A.-2B.2C.-6D.6答案：C2.（2020福建福清西山学校高二上学期期中）已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则a⋅(b+c)=()A.6B.7C.9D.13答案：C3.（2021福建南安侨光中学高二段考）已知点A(1,1,0),12AB=(4,1,2),则点B的坐标为()A.(7,-1,4)B.(9,3,4)C.(3,1,1)D.(1,-1,1)答案：B4.（2021北京人大附中高二检测）已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论中正确的是()A.a⊥c,b⊥cB.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥bD.以上都不对答案：C5.（2021山东济宁实验中学高二月考）设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-2,2),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=()A.22B.3C.5D.4答案：C6.已知O为坐标原点,向量a=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).若点E在直线AB上,且OE⊥a,则点E的坐标为()A.(-65,-145,25)B.(65,145,-25)C.(65,-145,25)D.(-65,145,-25)4
答案：A7.（2021浙江绍兴诸暨中学高二段测）已知点A(n,n-1,2n),B(1,-n,n),则|AB|的最小值为()A.12B.22C.2D.不存在答案：B8.（2021山东师范大学附属中学高二月考）若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且a与b夹角的余弦值为-26,则实数x的值为()A.-3B.11C.3D.-3或11答案：A9.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=14,若(a+b)⋅c=7,则a与c的夹角为.答案：120∘10.（2021河北沧州第一中学高二月考）已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-2),n=(k,k+3,6),若a∥b,则k=.答案：6素养提升练11.（2021辽宁葫芦岛高二期末）若a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120∘,则λ的值为()A.17B.-17C.-1或17D.1答案：C解析：由已知得a⋅b=-2-λ-2=-λ-4,|a|=1+λ2+4=5+λ2,|b|=4+1+1=6,∴cos 120∘=a⋅b|a|⋅|b|=-λ-45+λ2⋅6=-12,∘解得λ=17或λ=-1.12.（多选题）（2021山东师大附中高二月考）已知空间中的三点A(-1,0,1),B(-1,2,2),C(-3,0,4),则下列说法正确的是()4
A.AB⋅AC=3B.AB∥ACC.|BC|=23D.cos＜AB,AC＞=365答案：AC解析：∵A(-1,0,1),B(-1,2,2),C(-3,0,4),∴AB=(0,2,1),AC=(-2,0,3),BC=(-2,-2,2),AB⋅AC=0×(-2)+2×0+1×3=3,故A中说法正确;∵不存在实数λ,使得AB=λAC,∴AB,AC不共线,故B中说法错误;|BC|=(-2)2+(-2)2+22=23,故C中说法正确;cos＜AB,AC＞=AB⋅AC|AB|⋅|AC|=35×13=36565,故D中说法错误.13.（多选题）已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论中正确的有()A.若|a|=2,则m=±2B.若a⊥b,则m=-1C.若m=0,则cos＜a,b＞=-26D.若a⋅b=-1,则a+b=(-1,-2,-2)答案：AC解析：由|a|=2可得12+(-1)2+m2=2,解得m=±2,故A中结论正确;由a⊥b可得-2-m+1+2m=0,解得m=1,故B中结论错误;当m=0时,a=(1,-1,0),b=(-2,-1,2),所以cos⟨a,b⟩=a⋅b|a||b|=-132=-26,故C中结论正确;由a⋅b=-1得-2-m+1+2m=-1,解得m=0,所以a+b=(-1,-2,2),故D中结论错误.4
综上,A、C正确.14.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=14CD,H是C1G的中点.（1）求EF与B1C所成的角;（2）求EF与C1G所成角的余弦值.答案：（1）根据题意建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),E(0,0,12),F(12,12,0),C(0,1,0),C1(0,1,1),B1(1,1,1),G(0,34,0).易得EF=(12,12,-12),B1C=(-1,0,-1),∴EF⋅B1C=12×(-1)+12×0+(-12)×(-1)=0.∴EF⊥B1C,即EF⊥B1C,∴EF与B1C所成的角为90∘.（2）易得C1G=(0,-14,-1),∴|C1G|=174.由（1）可知|EF|=32,且EF⋅C1G=38,∴cos＜EF,C1G＞=EF⋅C1G|EF||C1G|=5117,即EF与C1G所成角的余弦值为5117.4
