加练课1空间向量及其运算的综合应用1.已知在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=2,CC1=2,AA1与AB、AC均成60∘角,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.14B.155C.105D.16答案：D2.（2021山东枣庄八中高二月考）如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在底面ABCD上移动,且满足B1P⊥D1E,则线段B1P的长度的最大值为()A.455B.2C.22D.3答案：D3.（2021广西名校高二期中）在四面体ABCD中,AB=6,BC=3,BD=4,若∠ABD与∠ABC互余,则BA⋅(BC+BD)的最大值为()A.20B.30C.40D.50答案：B4.（2021陕西西安周至二中高二期末）在正方体ABCD-A'B'C'D'中,棱长为2,点M为棱DD'上一点,则AM⋅BM的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案：D5.（2021辽宁六校协作体高二期中）已知四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点,则GE⋅GF等于()A.1B.-1C.4D.-44,答案：A6.如图,在三棱锥D-ABC中,已知AB=2,AC⋅BD=-3,设AD=a,BC=b,CD=c,则c2ab+1的最小值为.答案：27.（2020福建厦门高二期末）如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为1,∠BAD=∠A1AD=∠A1AB=π3,E为CC1的中点,则AE的长是.答案：172解析：由题意可知,AE=AB+BC+12CC1,所以AE2=(AB+BC+12CC1)2=AB2+BC2+14CC12+2AB⋅BC+AB⋅CC1+BC⋅CC1=|AB|2+|BC|2+14|CC1|2+|AB|⋅|BC|+12|AB|⋅|CC1|=1+1+14+1+12+12=174,所以|AE|=172.素养提升练4,8.（2021天津武清杨村三中高二月考）已知O(0,0,0),A(1,2,1),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当QA⋅QB取得最小值时,点Q的坐标是.答案：(1,1,2)解析：易知OP=(1,1,2),设OQ=λOP,则OQ=(λ,λ,2λ),所以Q(λ,λ,2λ),所以QA=1-λ,2-λ,1-2λ,QB=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA⋅QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(1-2λ)(2-2λ)=6(λ-1)2,当λ=1时,QA⋅QB取得最小值,此时Q的坐标为(1,1,2).9.（2021黑龙江双鸭山一中高二期中）已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,棱长均为m,底面是正方形,且∠A1AD=∠A1AB=120∘,设AB=a,AD=b,AA1=c.（1）用a,b,c表示BD1及求|BD1|;（2）求异面直线AC与BD1所成角的余弦值.答案：（1）易知BD1=BA+AD+DD1=-AB+AD+AA1=-a+b+c,|BD1|2=a2+b2+c2-2a⋅b-2a⋅c+2b⋅c=m2+m2+m2-0-2 m2cos 120∘=3 m2,∴|BD1|=3 m.（2）易知AC=AB+AD=a+b,则AC⋅BD1=(a+b)⋅(b+c-a)=a⋅b+a⋅c-a2+b2+b⋅c-a⋅b=a⋅c-a2+b2+b⋅c=m2cos 120∘-m2+m2+m2cos 120∘=-m24,又BD1=3 m,AC=2 m,∴cos＜AC,BD1＞=AC⋅BD1|AC||BD1|=-m22m×3m=-66,∴异面直线AC与BD1所成角的余弦值是66.4
