空间向量基本定理1.（2021山东泰安高二期末）已知空间四边形OABC中，取基向量OA=a,OB=b,OC=c，点M在线段OA上，且OM=2MA,N为BC的中点，则MN等于()A.12a-23b+12cB.-23a+12b+12cC.12a+12b-12cD.23a+23b-12c答案：B解析：因为N为BC的中点，所以ON=12(OB+OC)，因为OM=2MA，所以OM=23OA，所以MN=ON-OM=12(OB+OC)-23OA=-23a+12b+12c.2.（原创题）在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=2,AD=3,AA'=2,O是侧面CDD'C'的中心，则异面直线A'O与BD所成角的余弦值为()A.27B.15C.115D.3535答案：D3.（2020陕西商洛商丹高新学校高二期末）在四面体OABC中，M,N分别是OA,BC的中点，P是MN的三等分点（靠近点N），若OA=a,OB=b,OC=c，则OP=()A.13a+16b+16cB.16a+13b+13cC.12a+16b+13cD.16a+12b+13c答案：B4.（多选题）（2021山东淄博高二期末）已知空间向量i、j、k都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的有()A.向量i+j+k的模是3B.{i+j,i-j,k}可以构成空间的一个基底C.向量i+j+k和k夹角的余弦值为336,D.向量i+j与k-j共线答案：BC解析：|i+j+k|2=(i+j+k)2=i2+j2+k2+2i⋅j+2i⋅k+2j⋅k=3,∴|i+j+k|=3，故A中结论错误；∵空间向量i、j、k都是单位向量，且两两垂直，∴i+j、i-j、k均为非零向量，∵(i+j)⋅(i-j)=i2-j2=0,(i+j)⋅k=i⋅k+j⋅k=0,(i-j)⋅k=i⋅k-j⋅k=0，∴i+j、i-j、k两两垂直，则{i+j,i-j,k}可以构成空间的一个基底，故B中结论正确；cos⟨i+j+k,k⟩=(i+j+k)⋅k|i+j+k|⋅|k|=13×1=33，故C中结论正确；(i+j)⋅(k-j)=i⋅k-i⋅j+j⋅k-j2=-1，|i+j|=(i+j)2=i2+j2+2i⋅j=2，同理可得|k-j|=2，∴cos⟨i+j,k-j⟩=(i+j)⋅(k-j)|i+j|⋅|k-j|=-12×2=-12，∵0≤⟨i+j,k-j⟩≤π,∴⟨i+j,k-j⟩=2 π3，故D中结论错误.5.（2021河南平顶山高二期末）在棱长为1的正四面体ABCD中，点E,F分别是线段BC,AD上的点，且满足BE=13BC,AF=14AD，则AE⋅CF=()A.-1324B.-12C.12D.1324答案：A6.（多选题）（原创题）如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，点E是上底面A'B'C'D'的中心，点O是下底面ABCD的中心，H是DD'的中点，则下列结论正确的有()A.AE⊥BDB.OH∥B'D'C.AE⊥BD'D.OH∥BD'答案：AD6,7.（多选题）已知A,B,C,D,E是空间中的五点，且任意三点均不共线.若AB,AC,AD与AB,AC,AE均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有()A.AB,AD,AE不能构成空间的一个基底B.AC,AD,AE能构成空间的一个基底C.BC,CD,DE不能构成空间的一个基底D.AB,CD,EA能构成空间的一个基底答案：AC8.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG=2GD,PA=a,PB=b,PC=c,用{a,b,c}表示向量PG=.答案：23a-13b+23c素养提升练9.（多选题）（2021辽宁大连瓦房店中学高二月考）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60∘，则下列说法中正确的有()A.(AA1+AB+AD)2=2AC2B.AC1⋅(AB-AD)=0C.向量B1C与AA1的夹角是60∘D.BD1与AC所成角的余弦值为63答案：AB解析：因为以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60∘，所以可设该棱长为1，则AA1⋅AB=AA1⋅AD=AD⋅AB=1×1×cos 60∘=12，易知(AA1+AB+AD)2=AA12+AB2+AD2+2AA1⋅AB+2AB⋅AD+2AA1⋅AD=1+1+1+3×2×12=6，6,且2AC2=2(AB+AD)2=2(AB2+AD2+2AB⋅AD)=2×(1+1+2×12)=2×3=6，所以A中说法正确；易知AC1⋅(AB-AD)=(AA1+AB+AD)⋅(AB-AD)=AA1⋅AB-AA1⋅AD+AB2-AB⋅AD+AD⋅AB-AD2=0，所以B中说法正确；易知B1C=A1D,△AA1D为等边三角形，所以∠AA1D=60∘，故向量A1D与AA1的夹角是120∘，所以向量B1C与AA1的夹角是120∘,所以C中说法不正确；易知BD1=AD+AA1-AB,AC=AB+AD，所以|BD1|=(AD+AA1-AB)2=2,|AC|=(AB+AD)2=3,BD1⋅AC=(AD+AA1-AB)⋅(AB+AD)=1，所以cos＜BD1,AC＞=BD1⋅AC|BD1|⋅|AC|=12×3=66，所以D中说法不正确.故选AB.10.（2021北京平谷第五中学高二月考）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=22，D为棱A1B1的中点，则异面直线AD与CB1所成角的大小为.答案：π6解析：如图，取空间的一个基底{AB,AC,AA1}，则AD=AA1+A1D=AA1+12A1B1=AA1+12AB,CB1=CA+AB+BB1=AA1-AC+AB，∵该三棱柱的侧棱和底面垂直，∴AA1⋅AB=0,AA1⋅AC=0，又AB=AC=BC=2,AA1=22，∴AD⋅CB1=(AA1+12AB)⋅(AA1-AC+AB)=AA12-12AB⋅AC+12AB2=8-12×2×2×12+12×4=9，∵AD=8+1=3,CB1=8+4=23，∴cos＜AD,CB1＞=93×23=32,6,∵＜AD,CB1＞∈[0,π],∴＜AD,CB1＞=π6,∴异面直线AD与CB1所成角的大小为π6.11.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底，若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3，且d=αa+βb+γc,则α，β，γ分别为.答案：52,-1,-12解析：由题意得a、b、c为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α,β,γ)，使得d=αa+βb+γc成立，∴d=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3.∵d=e1+2e2+3e3，∴α+β+γ=1,α+β-γ=2，α-β+γ=3，⇒α=52,β=-1,γ=-12.创新拓展练12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别是棱CC1,BC,CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF.命题分析本题主要考查了线面垂直的判定定理，向量数量积的运算，向量垂直的应用.答题要领设AB=i,AD=j,AA1=k，则{i,j,k}构成空间的一个基底，利用向量的数量积等于零，把A1G,DF,DE用单位正交基底表示，由向量数量积的运算以及线面垂直的判定定理，即可证出A1G⊥平面DEF.详细解析证明设AB=i,AD=j,AA1=k,则{i,j,k}为空间的一个基底，∵A1G⋅DF=(AA1+AD+DG)⋅(DC+CF)=(-k+j+12i)⋅(i-12j)=(-k)⋅i+12k⋅j+i⋅j-12j2+12i2-14i⋅j=0，∴A1G⊥DF，同理可得A1G⊥DE，又DF∩DE=D,DF,DE⊂平面DEF，6,∴A1G⊥平面DEF.解题感悟在用线面垂直的判定定理证明时，必须说明两条直线相交.证明线面垂直时，可先利用向量数量积的运算证明线线垂直.6
