2.6.2 求曲线的方程一、基础过关1．若点M到两坐标轴的距离的积为2013，则点M的轨迹方程是__________．2．已知A(2,5)、B(3，－1)，则线段AB的方程是____________________．3．直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________．4．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________________________________________________________________________．5．与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是________．6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．7．过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x、y轴交于A、B两点，则AB中点M的轨迹方程为____________．二、能力提升8．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是_________．9．若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程是__________．10．等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4，2)，B(－2，0)，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程．11．已知一条曲线，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．12．已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．三、探究与拓展13.如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N)为切点，使得PM＝PN.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．-3-\n答案1．xy＝±20132．6x＋y－17＝0(2≤x≤3)3．x＋2y－4＝04．x2＋y2＝4(x≠±2)5．x2＋y2＝1(x≠±1)6．4π 7．x＋y－1＝08．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝09．y＝4x210．解 设点C的坐标为(x，y)，∵△ABC为等腰三角形，且A为顶点．∴AB＝AC.又∵AB＝＝2，∴AC＝＝2.∴(x－4)2＋(y－2)2＝40.又∵点C不能与B重合，也不能使A、B、C三点共线．∴x≠－2且x≠10.∴点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝40(x≠－2且x≠10)．11．解 如图所示，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)，由点M向x轴作垂线，垂足为B，则MB＝|y|.根据题意，动点M所满足的几何关系为MA－MB＝2.又A(0,2)．∴－|y|＝2.当y≥0时，上式可简化为x2＝8y；当y<0时，上式可简化为x＝0.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≥0)或x＝0(y<0)．12．解 设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得∴∵顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，整理，得y＝3(x－2)2＋1.故所求轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.13.解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)．由已知PM＝PN，∴PM2＝2PN2.又∵两圆的半径均为1，-3-\n∴PO－1＝2(PO－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．-3-
