§2.3 双曲线2．3.1 双曲线的标准方程一、基础过关1．双曲线－＝1的焦距为________．2．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为__________________．3．若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且MF1＝3MF2，则MF2＝___.4．已知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为____________．5．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．6．双曲线5x2＋ky2＝5的一个焦点是(，0)，那么实数k的值为________．7．椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是________．8．若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若AB＝5，则△AF1B的周长为________．二、能力提升9．在平面直角坐标系xOy中，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为________．10．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，PF1·PF2＝2，则双曲线的标准方程为____________．11．如图，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点，且MF1＋MF2＝6，试判别△MF1F2的形状．三、探究与拓展13．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P-4-\n地远，因此4s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，求A应沿什么方向炮击P地．-4-\n答案1．4 2．－＝1或－＝13．4 4．－y2＝1 5．m>－16．－17．±3 8．189．(1,3) 10．－y2＝111．解 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有MF1＝R＋1，MF2＝R＋4，∴MF2－MF1＝3.∴M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线(左支)，且a＝，c＝5.∴b2＝.∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－)．12．解 (1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1，则有解得a2＝3，b2＝2，所以双曲线的标准方程为－＝1.(2)不妨设M点在右支上，则有MF1－MF2＝2，又MF1＋MF2＝6，故解得MF1＝4，MF2＝2，又F1F2＝2，因此在△MF1F2中，MF1边最长，而cos∠MF2F1＝<0，所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．13．解 如图所示，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立坐标系，则B(－3,0)、A(3,0)、C(－5,2)，-4-\n∵PB＝PC，∴点P在线段BC的垂直平分线上．∵kBC＝－，BC的中点D(－4，)，∴直线PD：y－＝(x＋4)①又PB－PA＝4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上．设P(x，y)，则双曲线方程为－＝1(x≥2)②联立①、②式，得x＝8，y＝5，所以P(8,5)．因此kPA＝＝，故A应沿北偏东30°方向炮击P地．-4-
