专题十 高考数学附加必做题训练第29讲 空间向量与立体几何1.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱BB1的中点．(1)求直线A1M与平面AMC1所成角的正弦值；(2)求二面角AMC1A1的余弦值．解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2.(1)直线A1M的一个方向向量是m＝(0，2，－1)，平面AMC1的一个法向量是n＝(1，－1，2)，由cos〈m，n〉＝＝－，∴直线A1M与平面AMC1所成角的正弦值是.(2)平面A1MC1的一个法向量是e＝(1，1，2)，平面AMC1的一个法向量是n＝(1，－1，2)，由cos〈e，n〉＝＝，由图可知二面角AMC1A1为锐二面角，∴二面角AMC1A1的余弦值是.2.如图，在三棱锥PABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O、D分别是AB、PB的中点，PO⊥AB，连结CD.(1)若PA＝2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；(2)若二面角APBC的余弦值的大小为，求PA.解：连结OC.∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，∴PO⊥平面ABC.从而PO⊥AB，PO⊥OC.∵AC＝BC，点O是AB的中点，∴OC⊥AB，且OA＝OB＝OC＝a.如图，建立空间直角坐标系Oxyz.-5-\n(1)PA＝2a，PO＝a.A(0，－a，0)，B(0，a，0)，C(a，0，0)，P(0，0，a)，D.从而＝(0，－a，－a)，＝.∵cos〈，〉＝＝＝－，∴异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为.(2)设PO＝h，则P(0，0，h)．∵PO⊥OC，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB.从而＝(a，0，0)是平面PAB的一个法向量．不妨设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，∵＝(0，a，－h)，＝(a，－a，0)， ∴不妨令x＝1，则y＝1，z＝，则n＝.由已知，得＝＝，化简，得h2＝a2.∴PA＝＝＝a.3.如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.(1)若m＝1，求异面直线AP与BD1所成角的余弦；(2)是否存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成角的正弦值是？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．-5-\n解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，2)，D1(0，0，2)．所以＝(－1，－1，2)，＝(－1，1，1)．cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AP与BD1所成角的余弦是.(2)假设存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，则＝(1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(－1，1，m)．设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取x＝2，得平面AB1D1的法向量为n＝(2，－2，1)．由直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，得＝，解得m＝.因为0≤m≤2，所以m＝满足条件，所以当m＝时，直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于.4.如图，在空间直角坐标系Axyz中，已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B、D、B1分别在x、y、z轴上，B1A＝3，P是侧棱B1B上的一点，BP＝2PB1.(1)写出点C1、P、D1的坐标；(2)设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．-5-\n解：(1)C1(0，3，3)，P(1，0，2)，D1(－3，3，3)．(2)∵C(3，3，0)，∴＝(－2，－3，2)，＝(－6，0，3)．设E(m，n，0)，则＝(m，n－3，－3)．∵C1E⊥平面D1PC，∴则∴m＝－，n＝2.则点E的坐标为.5.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出点N到AB和AP的距离．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E，从而＝(，1，0)，＝(，0，－2)．设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴AC与PB所成角的余弦值为.(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则＝，由NE⊥平面PAC可得即化简得 ∴-5-\n即N点的坐标为，从而N点到AB和AP的距离分别为1、.-5-
