专题五 空间立体几何第14讲 空间几何体的表面积与体积1.与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体表面积之比为________．答案：π∶6解析：正方体的棱长与球的直径相等．2.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以BC边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为_________．答案：12π解析：将矩形ABCD以BC边所在直线为轴旋转一周后得到的几何体为是以2为底面半径，以3为高的圆柱体，故它的侧面积为2π×2×3＝12π.3.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是____________．(填序号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．答案：①③④⑤4.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为________cm3.答案：6解析：连结AC交BD于点O，则AO⊥平面BB1D1D，则四棱锥ABB1D1D的体积为SBB1D1D·AO＝6.5.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|＋|PC1|＝2的点P的个数为__________．答案：6解析：点P在以A、C1为焦点的椭圆上，若P在AB上，设AP＝x，有PA＋PC1＝x＋＝2，解得x＝.故AB上有一点P(AB的中点)满足条件．同理在AD，AA1，C1B1，C1D1，C1C上各有一点满足条件．又若点P在BB1上，则PA＋PC1＝＋>2.故BB1上不存在满足条件的点P，同理DD1，BC，A1D1，DC，A1B1上不存在满足条件的点P.6.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____________．答案：2πR2解析：设球的一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，则圆柱的侧面积S＝2π·Rsinα·2Rcosα＝2πR2sin2α，当α＝时，S取最大值2πR2，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为2πR2.7.如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均等于1，且∠A1AB＝∠A1AC＝60°，-4-\n则该三棱柱的体积是________．答案：解析：∵A1A＝A1B＝A1C＝AB＝AC＝BC.∴A1ABC为正四棱锥，∴A1在△ABC上的射影O为△ABC的中心．∴A1O＝1×A1O＝，∴V＝S△ABC·A1O＝.8.已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12.则球O的半径为______________．答案：解析：由题意将直三棱柱ABCA1B1C1还原为长方体ABDCA1B1D1C1，则球的直径即为长方体ABDCA1B1D1C1的体对角线AD1，所以球的直径AD1＝＝＝13，则球的半径为.9.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为____________cm.答案：解析：圆锥的母线长即为展开半圆的半径，圆锥底面圆的半径设为r，则2πr＝π×2，r＝1，圆锥高为＝.10.某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm.已知卫生纸的厚度为0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约是________m(π取3.14，精确到1m)．答案：100解析：纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的纸近似的看做是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再算总和．由内向外各圈的半径分别为20.05,20.15，…，59.95.因此，各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π.因此各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n，则59.95＝20.05＋0.1(n－1)，解得n＝400，显然各圈的周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π，项数为400的等差数列．根据等差数列的求和公式，得S＝400×40.1π＋×0.2π＝32000πmm≈100m.11.如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；(2)若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥PABCD的体积．(1)证明：因为PH是四棱锥PABCD的高，则PH⊥BD，又AC⊥BD，PH平面PBD，BD平面PBD，PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD.因为AC平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.(2)解：因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝，所以HA＝HB＝.因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝，HD＝HC＝1，可得PH＝.S梯形ABCD＝AC·BD＝2＋.-4-\n所以四棱锥的体积为V＝(2＋)·＝.12.某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm3.在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值．解：正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为h0，高为h.由题意得x＋h0＝10，解得h0＝10－x.则h＝＝＝，x∈(0，10)．所以正三棱锥体积V＝Sh＝×x2×＝.设y＝V2＝＝－，求导得y′＝－，令y′＝0，得x＝8，当x∈(0，8)时，y′＞0，y随着x的增加而增大，当x∈(8，10)时，y′＜0，y随着x的增加而减小，所以当x＝8cm时，y取得极大值也是最大值．此时y＝15360，所以Vmax＝32cm3.答：当底面边长为8cm时，正三棱锥的最大体积为32cm3.13.已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，E为CD的中点，M为SB的中点．(1)求证：CM∥平面SAE；(2)求证：SE⊥平面SAB；(3)求三棱锥SAED的体积．(1)证明：取SA的中点N，连结MN、EM，∵M为SB的中点，N为SA的中点，∴MN∥AB，且MN＝AB.-4-\n又E为CD的中点，∴CE∥AB，且CE＝AB.∴MN∥CE且MN＝CE，∴CENM为平行四边形，∴CM∥EN.又EN平面SAE，CM平面SAE，∴CM∥平面SAE.(2)证明：∵侧面SCD是直角三角形，∠CSD为直角，E为CD的中点，∴SE＝1.又SA＝AB＝2，AE＝，∴SA2＋SE2＝AE2.则ES⊥SA.同理可证ES⊥SB.∵SA∩SB＝S，∴SE⊥平面SAB.(3)解：VSAED＝VSAEB＝VESAB＝×××4×1＝.-4-
