第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)1.抛物线x＝4y2的准线方程是________．答案：x＝－解析：将抛物线写成标准形式y2＝x再计算．2.若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是________．答案：3或解析：当m>5时，＝，解得m＝；当m<5时，＝，解得m＝3.所以，m＝3或m＝.3.以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为________．答案：(x－5)2＋y2＝16解析：双曲线右焦点为F(c，0)，又a＝3，b＝4，所以c＝5，所以F(5，0)，双曲线渐近线方程为y＝±x，因而圆心到渐近线距离d＝＝4.所以圆的方程为(x－5)2＋y2＝16.4.已知双曲线过点(2，1)且其中一条渐近线方程为x－y＝0，则该双曲线的焦点坐标为________．答案：(，0)，(－，0)解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2，1)，解得双曲线的标准方程是－＝1，因此焦点坐标是(，0)，(－，0)．5.△ABC中，A(－2，0)，B(2，0)，且AC、AB、BC成等差数列，则点C的轨迹方程是________________.答案：＋＝1(y≠0)解析：由题可得AC＋BC＝8＞4，由椭圆的定义，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(除去与x轴的交点)．6.已知P是椭圆＋＝1上的动点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则·的取值范围是______________．答案：[－4，4]解析：已知F1(2，0)，F2(－2，0)，设P(x，y)，P在椭圆上，因此·＝x2＋y2－8＝12－3y2＋y2－8＝－2y2＋4，结合－2≤y≤2，可求出范围．7.双曲线－＝1(a＞b＞0)右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为________．答案：(1，2]∪[3，6)解析：设P到右准线距离为d，则有＝e，又由题设知PF1＝6d＝PF2，由双曲线的定义知PF1－PF2＝2a，从而有PF2－PF2＝2a，即有PF2(－1)＝2a，即PF2＝≥c－a，-11-\n两边同除a，整理化简可得≥0，即≤0，即1<e≤2或3≤e<6.8.在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，△ABC的顶点C在双曲线的右支上，则＝________．答案：－解析：(解法1)由正弦定理得＝＝＝－，又＝2，∴－＝－.(解法2)(特殊位置法)假设在△ABC中，∠ABC＝90°，设AC＝n，BC＝m，则由题意可得解得m＝3，n＝5，所以＝＝＝－.9.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为____________．答案：y2＝3x解析：根据抛物线定义知，点B到直线l的距离等于|BF|，故直线AB的倾斜角为，直线AB的方程为y＝，|AF|＝3，则xA＋＝3，所以xA＝3－，yA＝(3－p)，点A在抛物线上，3(3－p)2＝2p，解得p＝或p＝，yA>0知p＝不符，故所求抛物线方程为y2＝3x.10.已知椭圆T：＋＝1，A、B为椭圆T的左、右两个顶点，P为椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB交直线x＝6于M、N两点，则线段MN的最小值为__________．答案：4解析：由对称性知，不妨设P(x0，y0)在y轴上方，y0＞0，则AP的方程为y＝(x＋2)，令x＝6，得y1＝，BP的方程为y＝(x－2)，令x＝6得y2＝，从而MN＝y1－y2＝4y0·.由(x0，y0)在T上，知y0＝·＝·，即MN＝2·＝2·，令6－x0＝m＞0，则MN＝2·＝2，-11-\n易知－32＋12()－1最大值为－1＋＝，从而MN最小值为2×2＝4.11.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.(1)当直线AB斜率为0时，AB＋CD＝7，求椭圆的方程；(2)求AB＋CD的取值范围．解：(1)由题意知，e＝＝，CD＝7－2a，所以a2＝4c2，b2＝3c2，故D(c，)，因为点在椭圆上，即＋＝1，所以c＝1.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知AB＋CD＝7；②当两弦斜率均存在且不为0时，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，且设直线AB的方程为y＝k(x－1)，则直线CD的方程为y＝－(x－1)．将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，所以x1＝，x2＝，所以AB＝|x1－x2|＝.同理，CD＝＝.所以AB＋CD＝＋＝.令t＝k2＋1，则t＞1，3＋4k2＝4t－1，3k2＋4＝3t＋1，设f(t)＝＝－＋＋12＝－＋，-11-\n因为t＞1，所以∈(0，1)，所以f(t)∈，所以AB＋CD＝∈.综合①与②可知，AB＋CD的取值范围是.12.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(－1，－1)，c为椭圆的半焦距，且c＝b.过点P作两条互相垂直的直线l1、l2与椭圆C分别交于另两点M、N.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积；(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．解：(1)由条件得＋＝1，且c2＝2b2，所以a2＝3b2，解得b2＝，a2＝4.所以椭圆方程为＋＝1.(2)设l1方程为y＋1＝k(x＋1)，联立消去y得(1＋3k2)x2＋6k(k－1)x＋3(k－1)2－4＝0.因为P为(－1，－1)，解得M.当k≠0时，用－代替k，得N.将k＝－1代入，得M(－2，0)，N(1，1)．因为P(－1，－1)，所以PM＝，PN＝2，所以△PMN的面积为××2＝2.(3)(解法1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)＋3(y1＋y2)(y1－y2)＝0.因为线段MN的中点在x轴上，所以y1＋y2＝0，从而可得(x1＋x2)(x1－x2)＝0.若x1＋x2＝0，则N(－x1，－y1)．因为PM⊥PN，所以·＝0，得x＋y＝2.因为x＋3y＝4，所以解得x1＝±1，所以M(－1，1)，N(1，－1)或M(1，－1)，N(－1,1)．所以直线MN的方程为y＝－x.若x1－x2＝0，则N(x1，－y1)，因为PM⊥PN，所以·＝0，得y＝(x1＋1)2＋1.因为x＋3y＝4，所以解得x1＝－或－1，经检验x＝－满足条件，x＝－1不满足条件．-11-\n综上，直线MN的方程为x＋y＝0或x＝－.(解法2)由(2)知，当k≠0时，因为线段MN的中点在x轴上，所以＝－，化简得4k(k2－4k－1)＝0，解得k＝2±.若k＝2＋，则M，N，此时直线MN的方程为x＝－.若k＝2－，则M，N，此时直线MN的方程为x＝－.当k＝0时，M(1，－1)，N(－1，1)，满足题意，此时直线MN的方程为x＋y＝0.综上，直线MN的方程为x＝－或x＋y＝0.13.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点A和点B(，1)．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(x0，y0)在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线l的方程为x0x＋3y0y－6＝0.①求证：直线l与椭圆C有唯一的公共点；②若点F关于直线l的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标．(1)解：由题意，得解得所以所求椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：①联立方程组消去y，得(x＋3y)x2－12x0x＋36－18y＝0.(*)由于点P(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，即3y＝6－x.故(*)可化为x2－2x0x＋x＝0.因为Δ＝(－2x0)2－4x＝0，所以原方程组仅有一组解，显然x＝x0，y＝y0是方程组的解，所以直线l与椭圆C有唯一的公共点．②点F的坐标为(－2，0)，过点F且与直线l垂直的直线的方程为3y0x－x0y＋6y0＝0.解方程组得因为点P(x0，y0)在椭圆＋＝1上，-11-\n所以3y＝6－x，所以解为所以点F(－2，0)关于直线l的对称点的坐标为Q.当x0≠2时，kPQ＝＝.所以直线PQ的方程为y－y0＝(x－x0)，即(x－2)y0－yx0＋2y＝0.所以即直线PQ过定点M(2，0)．当x0＝2时，y0＝±，此时Q的坐标为(2，±2)，直线PQ过点M(2，0)．综上，直线PQ恒过定点M(2，0)．-11-\n滚动练习(四)1.若全集U＝R，集合A＝{x|x＋1<0}，B＝{x|x－3<0}，则集合(∁UA)∩B＝________．答案：[－1，3)2.方程xlg(x＋2)＝1有_________个不同的实数根．答案：23.函数y＝ln的定义域是________．答案：(－1，0)∪(1，＋∞)解析：x－＞0或x＞1或－1＜x＜0.4.已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝3x－2，则f(1)＋f′(1)＝________．答案：4解析：f′(1)＝3，f(1)＝3－2＝1.故f(1)＋f′(1)＝4.5.设函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“f(x)为奇函数”是“φ＝”的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：必要不充分6.设f(x)为偶函数，且对任意的正数x都有f(2＋x)＝－f(2－x)，若f(－1)＝4，则f(－3)＝________．答案：－4解析：f(－3)＝f(3)＝－f(2－1)＝－f(1)＝－f(－1)＝－4.7.已知在直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，且位于x轴上方．若点P到坐标原点O的距离为4，则过F、O、P三点的圆的方程是________________.答案：x2＋y2－x－7y＝0解析：考查抛物线的性质及圆的方程.设P，y＞0，|OP|＝4，解得y＝4，P(4，4)．将F、O、P三点代入圆的一般方程可求得．8.若过点C(3，4)且与x轴、y轴都相切的两个不同圆的半径分别为r1、r2，则r1r2＝________．答案：25解析：设圆心是(a，b)，半径是r，则|a|＝|b|＝r，且(a－3)2＋(b－4)2＝r2，解得即可．9.设e1、e2是夹角为60°的两个单位向量.已知＝e1，＝e2，＝x·＋y·(x、y为实数).若△PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则x－y的取值集合是________．答案：{1}解析：＝－＝(x－1)e1＋ye2，＝－＝e2－e1.∵MP⊥MN，∴·＝0.即(x－1)×－(x－1)＋y－y×＝0，∴x－y＝1.10.若圆x2＋y2＝r2过双曲线－＝1的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A、B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为____________．答案：2-11-\n解析：当四边形OAFB为菱形时，点A、B的横坐标都是.因为点A在圆x2＋y2＝r2上，所以A(r，r)，代入bx－ay＝0得b＝a，b2＝3a2，即c2－a2＝3a2，所以c＝2a，e＝＝2.11.设α、β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝，tan＝，则cosβ＝____________．答案：－解析：sinα＝＝，cosα＝＝，>，α∈，α＋β∈，cos(α＋β)＝－，cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝－.12.已知等比数列{an}的首项为，公比为－，其前n项和为Sn，若A≤Sn－≤B对n∈N*恒成立，则B－A的最小值为____________．答案：解析：由等比数列前n项和公式得Sn＝1－，∴Tn＝Sn－＝1－－.当n为奇数时，Tn＝1＋－递减，则0＜Tn＜T1＝；当n为偶数时，Tn＝1－－递增，则－＜T2＜0.故－≤Tn≤，∴Amax＝－，Bmin＝，故(B－A)min＝Bmin－Amax＝.13.求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)至少有一个负实根的充要条件．解：当a＝0时，适合；当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a＜0；若方程有两个负实根，则解得0＜a≤1.综上，方程至少有一个负实根，则a≤1.反之，若a≤1，则方程至少有一个负实根．因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.14.在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且＝.(1)求B；(2)若tan＝7，求cosC的值．-11-\n解：(1)因为＝，由正弦定理，得＝，所以sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB，即sin(B＋C)＝2sinAcosB.因为B＋C＝π－A，所以sinA＝2sinAcosB.因为A∈(0，π)，故sinA≠0，因此cosB＝.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为tan＝7，所以＝7，解得tanA＝.因为0<A<π，所以A为锐角，所以cosA＝，sinA＝.所以cosC＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－cos＝－cosAcos＋sinAsin＝－×＋×＝.15.椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两动点，且·＝0.(1)判定原点O与以MN为直径的圆的位置关系；(2)设椭圆离心率为，MN的最小值是2，求椭圆方程．解：(1)设椭圆＋＝1的焦距为2c(c>0)，则其右准线方程为x＝，且F1(－c,0),F2(c,0)．设M，N，则＝，＝，＝，＝.∵·＝0，∴＋y1y2＝0，即＋y1y2＝c2.于是·＝＋y1y2＝c2＞0，故∠MON为锐角．∴原点O在以MN为直径的圆的外部．(2)∵椭圆的离心率为，∴a＝2c，-11-\n于是M(4c，y1)，N(4c，y2)，且y1y2＝c2－＝－15c2.MN2＝(y1－y2)2＝y＋y－2y1y2＝|y1|2＋|y2|2＋2|y1y2|≥4|y1y2|＝60c2.当且仅当y1＝－y2＝c或y2＝－y1＝c时取“＝”号，∴(MN)min＝2c＝2，于是c＝1,从而a＝2，b＝，故所求的椭圆方程是＋＝1.16.已知a、b为常数，a≠0，函数f(x)＝ex.(1)若a＝2，b＝1，求f(x)在(0，＋∞)内的极值；(2)①若a>0，b>0，求证：f(x)在区间[1，2]上是增函数；②若f(2)<0，f(－2)<e－2，且f(x)在区间[1，2]上是增函数，求由所有点(a，b)形成的平面区域的面积.(1)解：f′(x)＝ex＝(ax2＋bx－b).当a＝2，b＝1时，f′(x)＝(2x2＋x－1)＝(x＋1)(2x－1)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－1(舍去)．∵＞0，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，∴当x＝时，f(x)取得极小值为4.(2)令g(x)＝ax2＋bx－b，①证明：∵a＞0，b＞0，∴二次函数g(x)的图象开口向上，对称轴x＝－＜0，且g(1)＝a＞0，∴g(x)＞0对一切x∈[1，2]恒成立．又＞0，∴f′(x)＞0对一切x∈[1，2]恒成立．∵f(x)函数图象是不间断的，∴f(x)在区间[1，2]上是增函数．②解：∵f(2)＜0，f(－2)＜e－2，∴即(*)∵f(x)在区间[1，2]上是增函数，∴f′(x)≥0对x∈[1，2]恒成立．则g(x)＝ax2＋bx－b≥0对x∈[1，2]恒成立．∴(**)在(*)(**)的条件下得，b＜0且1＜－≤2，且g＝＝－b≥0恒成立．-11-\n综上，点(a，b)满足的线性约束条件是由所有点(a，b)形成的平面区域为△OAB(如图所示)，其中A、B、C(1，0)，则S△OAB＝S△OAC－S△OBC＝＝.即△OAB面积为.-11-
