考点规范练6 函数的奇偶性与周期性一、非标准1.函数f(x)=-x的图象关于( )A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称2.(2022湖南,文4)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )A.f(x)=B.f(x)=x2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-x3.已知f(x)=ax2+bx是定义在上的偶函数,那么a+b的值是( )A.-B.C.D.-4.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)=( )A.2B.1C.0D.-25.(2022河南郑州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)=( )A.2B.C.D.a26.x为实数,表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-在R上为( )A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数7.f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+2)=f(x),当x∈(0,1)时,f(x)=2x-2,则f(lo6)的值等于( )A.-B.-C.D.-8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x.若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)9.已知f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=log2(1-x),则f(3)= . 10.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R,都有f(x+8)=f(x)+f(4),且x∈时,f(x)=4-x,则f(2022)的值为 . 11.(2022浙江温州模拟)若函数f(x)=是奇函数,则a的值为 . 12.定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)<-1的解集是 . 13.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在上是减函数,那么f(x)在上是( )A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数14.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是( )A.0B.0或-C.-或-D.0或-15.(2022辽宁,文10)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=则不等式f(x-1)≤的解集为( )\nA.B.C.D.16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x)对任意x∈R成立,当x∈(-1,0)时,f(x)=2x,则f= . 17.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1).已知当x∈时,f(x)=,则:①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;④当x∈(3,4)时,f(x)=.其中所有正确命题的序号是 . ##一、非标准1.C 解析:∵f(-x)=-+x=-=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f(x)为奇函数,故f(x)的图象关于坐标原点对称.2.A 解析:由偶函数的定义知,A,B为偶函数.A选项,f'(x)=-在(-∞,0)上恒大于0;B选项,f'(x)=2x在(-∞,0)上恒小于0.故选A.3.B 解析:依题意b=0,且2a=-(a-1),∴b=0,a=,则a+b=.4.D 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-=-2.5.B 解析:∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,∴f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a.∵f(2)+g(2)=a2-a-2+2,①∴f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a-2-a2+2,②由①②联立,得g(2)=a=2,f(2)=a2-a-2=.6.D 解析:由题意f(1.1)=1.1-=0.1,f(-1.1)=-1.1-=-1.1-(-2)=0.9,故该函数不是奇函数,也不是偶函数,更不是增函数.又对任意整数a,有f(a+x)=a+x-=x-=f(x),故f(x)在R上为周期函数.故选D.7.C 解析:f(lo6)=-f(-lo6)=-f(log26)=-f(log26-2)=-(-2)=-=,故选C.8.C 解析:因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x,作出f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知f(x)是R上的增函数.由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,即-2<a<1,选C.\n9.-2 解析:f(3)=-f(-3)=-log24=-2.10.3 解析:易知f(4)=0,∴f(x+8)=f(x),∴f(x)是周期为8的周期函数,∴f(2022)=f(-1)=f(1)=4-1=3.11.0 解析:由f(-1)=-f(1),得,∴(-1+a)2=(1+a)2,解得a=0.12.解析:当x<0时,-x>0,∴f(x)=-f(-x)=-log2(-x),∴f(x)=∴f(x)<-1⇒或⇒0<x<或x<-2.13.D 解析:由f(x)在上是减函数,又f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在上是增函数.由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f=-f(x+1)=f(x),故2是函数f(x)的一个周期.结合以上性质,模拟画出f(x)的部分图象,如图.由图象可以观察出,f(x)在上为减函数,在上为增函数.14.D 解析:∵f(x+2)=f(x),∴T=2.又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如图.显然a=0时,y=x与y=x2在内恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时,也恰有两个不同的公共点.由题意知x2=x+a,即x2-x-a=0,Δ=1+4a=0,则a=-,此时x=.综上可知,a=0或-.15.A 解析:令t=x-1.当t∈时,πt∈,由f(t)≤,即cosπt≤,得≤πt≤,解得≤t≤.当t∈时,由f(t)≤,即2t-1≤,解得<t≤.综上,t∈\n解得≤x≤≤x≤.故选A.16.1 解析:因为f(x+2)=f(x),故f=f=-f=1.17.①②④ 解析:由已知条件得f(x+2)=f(x),则y=f(x)是以2为周期的周期函数,故①正确;当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=,函数y=f(x)的图象如图所示,最小值为,最大值为1.当3<x<4时,-1<x-4<0,f(x)=f(x-4)=.因此②④正确,③不正确.
