第59讲 抛物线 1.抛物线y＝4x2的准线方程为( )A．x＝－1B．y＝－1C．x＝－D．y＝－ 2.(2022·四川卷)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( )A．2B．2C．4D．2 3.(2022·浙江温州模拟)经过抛物线y2＝4x的焦点且平行于直线3x－2y＝0的直线l的方程是( )A．3x－2y－3＝0B．6x－4y－3＝0C．2x＋3y－2＝0D．2x＋3y－1＝0 4.(2022·上海卷)动点P到点F(2，0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为__________． 5.顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，且经过点M(－2，－4)的抛物线方程是________________． 6.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|AB|等于______． 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.(1)求抛物线的标准方程；(2)设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦AB的长为4，求证：圆C过定点．5\n 8.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )A.B.C.D．3 9.(2022·浙江嘉兴模拟)已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2＝x的焦点上，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为__________．10.如图，已知抛物线S的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线的方程为l：4x＋y－20＝0.(1)求抛物线S的方程；(2)若O是坐标原点，是否存在定点M，当过点M的动直线与抛物线S交于P、Q两点时，都有∠POQ＝90°？5\n5\n第59讲1．D 2.B 3.A 4.y2＝8x 5.y2＝－8x或x2＝－y 6.87．解析：(1)由抛物线的定义得＋4＝5，则p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.(2)证明：设圆心C的坐标为(，y0)，半径为r.因为圆C在y轴上截得的弦长为4，所以r2＝4＋()2，故圆C的方程为(x－)2＋(y－y0)2＝4＋()2，整理得(1－)y02－2yy0＋(x2＋y2－4)＝0，①对于任意的y0∈R，方程①均成立．故有，解得.所以，圆C过定点(2，0)．8．A 解析：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值，为，选A.9．2± 解析：设等边三角形的另外两个顶点的坐标为A(y2，y)，B(y2，－y)，且A，B与焦点F(，0)连线的斜率分别为±，得y＝，所以等边三角形的边长为|2y|＝2±.10．解析：(1)设抛物线S的方程为y2＝2px(p>0)，将直线l：4x＋y－20＝0代入得2y2＋py－20p＝0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则y1＋y2＝－，同理，x1＋x2＝(5－)＋(5－)＝10－＝10＋.又△ABC的重心F(，0)，设A(x3，y3)，则＝，＝0，所以x3＝－10，y3＝.因为点A在抛物线S上，故()2＝2p·(－10)，所以p＝8，所以抛物线S的方程为y2＝16x.(2)设过定点M的动直线方程为y＝kx＋b，交抛物线于P、Q两点，显然，k≠0，b≠0.因为∠POQ＝90°，所以kPO·kQO＝－1，所以·＝－1，所以xPxQ＋yPyQ＝0.把y＝kx＋b代入抛物线方程得ky2－16y＋16b＝0，5\n所以yPyQ＝，从而xPxQ＝＝，所以＋＝0.因为k≠0，b≠0，所以b＝－16k，所以动直线的方程为y＝kx－16k，从而y＝k(x－16)，所以动直线必经过定点(16，0)．若直线PQ的斜率不存在，直线x＝16与抛物线交于P(16，－16)，Q(16，16)两点，仍有∠POQ＝90°，所以存在定点M(16，0)满足条件．5
