第51讲 空间角及其计算 1.已知二面角α－l－β的大小为60°，m、n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m、n所成的角是( )A．30°B．60°C．90°D．120° 2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )A.B.C.D. 3.若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( )A.B.C.D. 4.(2022·四川卷)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是__________． 5.直线l与平面α成角为30°，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m与l所成角的取值范围是______________． 6.(2022·大纲卷)三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______________． 7.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点．设GF、C1E与AB所成的角分别为α，β，求α＋β.6\n 8.一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是α和β，则α＋β的范围是______________． 9.如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，正确的__________．(填写所有正确命题的序号)①O－ABC是正三棱锥；②直线OB∥平面ACD；③直线AD与直线OB所成的角是45°；④二面角D－OB－A为45°.10.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，其中AB＝，BD＝BC＝1，AA1＝2，E为DC的中点，F是棱DD1上的动点．(1)求异面直线AD1与BE所成角的正切值；(2)当DF为何值时，EF与BC1所成的角为90°？6\n6\n6\n第51讲1．B 2.D 3.B 4.90° 5.[30°，90°] 6.7．解析：建立空间直角坐标系如图．设正方体的棱长为2.则B(2，0，0)，A(2，2，0)，G(0，0，1)，F(1，1，0)，C1(0，0，2)，E(1，2，1)．则＝(0，2，0)，＝(1，1，－1)，＝(1，2，－1)，所以cos〈，〉＝，cos〈，〉＝，所以cosα＝，cosβ＝，sinβ＝，所以α＋β＝90°.8．[0°，90°]解析：当直线与二面角的棱平行时，α＝β＝0°；当直线与二面角的一个面垂直时，α＋β＝90°；当直线与二面角的两个面都相交时，设A、B分别为平面M、N内任一点，过A、B分别作AC⊥l，BD⊥l(l为二面角的棱)，垂足为C、D，则∠BAD＝α，∠ABC＝β，α＋β≤α＋∠ABD＝90°.又因为α＋β>0°，所以α＋β∈(0°，90°]；综上，α＋β∈[0°，90°]．9．①③④ 解析：把该正四面体放入正方体中，如图，易知②错误．简证：假设OB∥平面ACD，又正方体中OB∥AE，又AE∩平面ACD＝A，故AE⊂平面ACD.但很明显AE不存在平面ACD中，矛盾，故假设错误，故②错．10．解析：方法1：(1)连接EC1.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD1∥BC1，则∠EBC1为异面直线AD1与BE所成的角．⇒BE⊥侧面DCC1D1⇒BE⊥EC1.在Rt△BEC1中，BE＝＝，6\nEC1＝＝，所以tan∠EBC1＝＝3.(2)当DF＝时，EF与BC1所成的角为90°.由(1)知，BE⊥侧面DCC1D1⇒BE⊥EF.又DE＝EC＝，CC1＝AA1＝2.当DF＝时，因为＝＝，＝＝，所以△DEF∽△CC1E，所以∠DEF＋∠CEC1＝90°，所以∠FEC1＝90°，即FE⊥EC1.又EB∩EC1＝E，所以EF⊥平面BEC1，所以EF⊥BC1，即EF与BC1所成的角等于90°.方法2：由BC2＋BD2＝DC2可知BD⊥BC，分别以BC、BD、BB1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则B(0，0，0)，A(－1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，2)，C(1，0，0)，C1(1，0，2)，E(，，0)．(1)因为＝(1，0，2)，＝(，，0)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以sin〈，〉＝，所以tan〈，〉＝3，即AD1与BE所成的角的正切值为3.(2)设F(0，1，q)，则＝(－，，q)．又＝(1，0，2)，由·＝(－)×1＋0×＋q·2＝0，得q＝，即DF＝时，EF⊥BC1.6
