第49讲 空间中的垂直关系 1.直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有( )A．0条B．1条C．无数条D．α内的所有直线 2.若三个平面α，β，γ之间有α⊥γ，β⊥γ，则α与β( )A．垂直B．平行C．相交D．以上三种可能都有 3.设α、β、γ为不同平面，a、b为不同直线，给出下列条件：①a⊥α，a∥β；②α⊥γ，β⊥γ；③a⊥α，b⊥β，a⊥b；④a⊂α，b⊂β，a⊥b.其中能使α⊥β成立的条件的个数为( )A．1B．2C．3D．4 4.如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，则图中所有互相垂直的平面共有( )A．8对B．7对C．6对D．5对 5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B4\n的动点，且PC⊥AC，则BC与AC的位置关系是____________． 6.α、β是两个不同的平面，m、n为平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________． 7.(2022·江苏卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD. 1.平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是( )A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支 2.如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是__________． 3.(2022·全国新课标卷)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．(1)证明：平面BDC⊥平面BDC1；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．4\n第49讲巩固练习1．C 2.D 3.B4．B 解析：平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面PDC，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面PBD.5．垂直解析：因为PB⊥α，所以PB⊥AC.又因为PC⊥AC，且PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC.6．①③④⇒②7．解析：(1)因为E、F分别是AP、AD的中点，所以EF∥PD，又因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)因为AB＝AD，∠BAD＝60°，F是AD的中点，所以BF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD，所以，平面BEF⊥平面PAD.提升能力1．A 解析：选A，直线AC⊥AB，由C为动点，则直线AC运动时构成一个平面β，则AB⊥β，而α与β的交线即为点C的轨迹．2．①②③解析：因为PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，所以CB⊥AC，CB⊥PA，CB⊥平面PAC.又AF⊂平面PAC，所以CB⊥AF.又因为E，F分别为点A在PB，PC上的射影，所以AF⊥PC，AE⊥PB，所以AF⊥平面PCB.故①③正确．所以PB⊥平面AEF，故②正确．4\n而AF⊥平面PCB，所以AE不可能垂直于平面PBC，故④错．3．解析：(1)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因为DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC，由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC，又因为DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC，因为DC1⊂平面BDC1，所以平面BDC⊥平面BDC1.(2)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1，由题意得，V1＝××1×1＝，由三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝×1×1×2＝1，所以(V－V1)∶V1＝1∶1，所以平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为1∶1.4
