第48讲 空间中的垂直关系 1.(2022·安徽卷)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件 2.(2022·东莞模拟)若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个 3.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A．l1⊥m，l1⊥nB．m⊥l1，m⊥l2C．m⊥l1，n⊥l2D．m∥n，l1⊥n 4.(2022·黄冈期末)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中真命题的序号是( )A．①④B．②③C．②④D．①③ 5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则BC与AC的位置关系是________． 6.已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______________________． 7.如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点．(1)证明：AB⊥MN；(2)若平面PDC与平面ABCD成45°角，连接AC，取AC的中点O，证明平面MNO⊥平面PDC.4\n 8.如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是__________． 9.三棱锥P－ABC的顶点P在底面的射影为O，若PA＝PB＝PC，则点O为△ABC的______心，若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的______心．10.(2022·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.4\n4\n第48讲1．A 2.C 3.B 4.B 5.垂直 6.①③④⇒②或②③④⇒①7．证明：(1)因为N为PC的中点，所以ON∥PA.而PA⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD.所以ON⊥AB.又四边形ABCD为矩形，M为AB的中点，所以OM⊥AB，所以AB⊥平面OMN，所以AB⊥MN.(2)PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，则PD⊥DC.故∠PDA为平面PDC与平面ABCD所成锐二面角的平面角，即∠PDA＝45°，所以PA＝AD＝BC.连接MC，由Rt△BCM≌RtAPM知，MC＝MP，所以MN⊥PC.因为AB⊥MN，所以MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD，所以平面MNO⊥平面PCD.8．①②③ 解析：因为PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，所以CB⊥AC，CB⊥PA，CB⊥平面PAC.又AF⊂面PAC，所以CB⊥AF.又因为E，F分别点A在PB，PC上的射影，所以AF⊥PC，AE⊥PB，所以AF⊥平面PCB.故①③正确．所以PB⊥平面AEF，故②正确．而AF⊥平面PCB，所以AE不可能垂直于平面PBC，故④错．9．外 垂10．解析：(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC、DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又因为AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.又因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知，AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又因为AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE.4
