第47讲 空间中的平行关系 1.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )A．0个B．1个C．0个或1个D．1个或无数个 2.(2022·四川卷)下列命题正确的是( )A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1、CC1的中点，则过点B、P、Q的截面是( )A．邻边不等的平行四边形B．菱形但不是正方形C．邻边不等的矩形D．正方形 4.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；④若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则n∥α.其中正确的命题有( )A．①②B．②③C．③④D．②④ 5.如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是______．①EH∥FG;②四边形EFGH是矩形；③Ω是棱柱；④Ω是棱台． 6.已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.3\n其中正确命题的序号有______． 7.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH. 8.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，令集合M＝{长方体ABCD－A1B1C1D1的6个面和12条棱}，N＝{x|x∈M且x∥平面ABCD}，试用列举法表示集合N＝____________________________________． 9.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过B且平行于平面AB1D1的平面与平面AB1D1的距离是______．10.如图所示，在正方体AC1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点，求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.3\n第47讲1．C 2.C 3.B 4.B 5.④ 6.④7．证明：如图所示，连接AC.设AC交BD于O，连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．又因为M是PC的中点，所以MO∥PA.又因为MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，所以PA∥平面BDM，平面BDM∩平面APG＝GH，所以AP∥GH.8．{A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，平面A1B1C1D1}9.a10．证明：(1)取B1B的中点M，连接HM、MC1.因为HM綊A1B1，A1B1綊C1D1，所以HM綊C1D1，则四边形HMC1D1是平行四边形，所以HD1∥MC1.又BM綊C1F，所以四边形C1MBF是平行四边形，所以C1M∥BF，所以HD1∥BF.(2)取BD的中点O，连接OE，则OE綊DC.又D1G綊DC，所以OE綊D1G，所以四边形OEGD1是平行四边形，所以EG∥D1O.又D1O⊂平面BB1D1D，GE⊄平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1⊂平面HB1D1，BF、BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.3
