第56讲 椭 圆 1.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋＝1 2.已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为( )A．8B．16C．25D．32 3.(2022·全国新课标卷)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )A.B.C.D. 4.连接椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为x－2y＋2＝0，则该椭圆的离心率为( )A.B.C.D. 5.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是__________．4\n 6.若椭圆＋＝1的离心率为，则实数m等于__________________________． 7.设x、y∈R，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8.求点M(x，y)的轨迹C的方程． 1.2<m<6是方程＋＝1表示椭圆的__________条件( )A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要 2.(2022·四川卷)椭圆＋＝1(a为定值，且a>)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________． 3.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点A(2，1)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)过点(3，0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求证：kAM＋kAN为定值．第56讲巩固练习1．A 2.B 3.C4．A 解析：直线x－2y＋2＝0与坐标轴的交点为(－2，0)，(0，1)，依题意得c＝2，b＝1⇒a＝⇒e＝，故选A.5．0＜k＜1解析：椭圆方程化为＋＝1.焦点在y轴上，则>2，即k<1.又k>0，所以0<k<1.6.或解析：由已知m>0且m≠2，若0<m<2，e＝＝，得m＝，若m>2，则e＝＝4\n，得m＝.7．解析：方法1：因为a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8，所以点M(x，y)到两个定点F1(0，－2)，F2(0，2)的距离之和为8.所以轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为＋＝1.方法2：由题知，＋＝8，移项，得＝8－，两边平方，得x2＋(y＋2)2＝x2＋(y－2)2－16＋64，整理，得2＝8－y，两边平方，得4[x2＋(y－2)2]＝(8－y)2，展开，整理得＋＝1.提升能力1．B2. 解析：根据椭圆定义知：4a＝12，得a＝3， 又因为a2－c2＝5，所以c＝2，所以e＝＝.3．解析：(1)由题意得，解得.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意直线l的斜率存在，故设其方程为y＝k(x－3)，由，得(1＋2k2)x2－12k2x＋18k2－6＝0.因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，所以Δ＝144k4－4(1＋2k2)(18k2－6)＝24(1－k2)>0，解得－1<k<1.设M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，4\ny1＝k(x1－3)，y2＝k(x2－3)．所以kAM＋kAN＝＋＝＝＝＝＝－2.所以kAM＋kAN为定值－2.4
