第33讲 等差、等比数列的性质及综合应用 1.在等差数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则a20－a10等于( )A.B.C.或－D.或－ 2.(2022·毕节市)已知公比为2的等比数列{an}中，a2＋a4＋a6＝3，则a5＋a7＋a9＝( )A．12B．18C．24D．6 3.设Sn表示等比数列{an}(n∈N*)的前n项和，已知＝3，则＝( )A．3B．5C．7D．9 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S19>0，S20<0，则，，…，中最大的项是( )A.B.C.D. 5.若等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a7成等比数列，则＝________． 6.(2022·新疆石油中学)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，)在直线y＝x＋4上，数列{bn}满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)且b4＝8，前11项和为154，则an＝________；bn＝________． 7.等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a52.(1)求数列{an}的通项公式；5\n(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前99项的和． 1.数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有( )A．a3＋a9≤b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定 2.已知a2，b2，c2成等差数列，则，，成__________________数列．(填“等差”、“等比”或“既不是等差也不是等比”) 3.已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn＝3an(n∈N*)．(1)判断{an}是何种数列，并给出证明；(2)若a8＋a13＝m，求b1·b2·…·b20；(3)若b3·b5＝39，a4＋a6＝3，求b1·b2·…·bn的最大或最小值．第33讲巩固练习1．C 2.C 3.C4．C 解析：由题意S19＝＝19a10>0⇒a10>0；S20＝<0⇒a11<0，所以a1>0，d<0.数列为a1>a2>a3>…>a10>0>a11>…，5\n易知(Sn)max＝S10，a10为正项最小值，所以为最大项．5.解析：因为a1、a3、a7成等比数列⇒a32＝a1·a7⇒(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)⇒a1＝2d，所以＝＝＝.6．2n＋3 3n－4解析：由题意＝n＋4，即Sn＝n2＋4n，易知an＝2n＋3(n∈N*)，由bn＋2＋bn＝2bn＋1，即bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn，所以{bn}为等差数列，于是＝154，b4＝8，所以b8＝20，d＝＝3，于是bn＝b4＋(n－4)d＝3n－4.7．解析：(1)设数列{an}的公差为d(d>0)．因为a1，a3，a9成等比数列，所以a32＝a1a9，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，所以d2＝a1d.因为d>0，所以a1＝d.①因为S5＝a52，所以5a1＋·d＝(a1＋4d)2.②由①②解得a1＝d＝.所以an＝＋(n－1)×＝n(n∈N*)．(2)bn＝＝·＝(1＋－)．所以b1＋b2＋b3＋…＋b99＝(1＋1－＋1＋－＋1＋－＋…＋1＋－)＝(99＋1－)5\n＝275＋2.75＝277.75.提升能力1．B 解析：因为a3＋a9≥2＝2＝2a6＝2b7＝b4＋b10，当且仅当a3＝a9时，不等式取等号．2．等差解析：因为a2，b2，c2成等差数列，所以2b2＝a2＋c2.因为＋＝＝＝＝，所以，，成等差数列．3．解析：(1)证明：设{bn}的公比为q(q>0)．因为bn＝3an，所以3a1·qn－1＝3an，所以an＝a1＋(n－1)log3q，所以{an}是以log3q为公差的等差数列．(2)因为a8＋a13＝m，所以由等差数列的性质，得a1＋a20＝a8＋a13＝m.所以a1＋a2＋…＋a20＝＝10m，所以b1·b2·…·b20＝3a1＋a2＋…＋a20＝310m.(3)由b3·b5＝39，得a3＋a5＝9.因为a4＋a6＝3，所以，解得.所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2＋(a1－)n＝－n2＋15n.5\n即当n＝－＝5时，Sn有最大值，即当n＝5时，b1·b2·…·bn有最大值3.5
