第17讲 导数的综合应用(主要含优化问题) 1.如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请按顺序写出与容器(1)、(2)、(3)、(4)对应的水的高度h与时间t的函数关系图象________________． 2.某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·(0<x<60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长是( )A．30B．40C．50D．其他 3.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a、b，若a<b，则必有( )A．af(a)≤f(b)B．bf(b)≤f(a)C．bf(b)≤af(a)D．bf(a)≤af(b) 4.欲制作一个容积为2π立方米的圆柱形储油罐(有盖)，为能使所用的材料最省，它的底面半径和高分别为( )A．底面半径为0.5米，高为1米B．底面半径为1米，高为1米C．底面半径为1米，高为2米D．底面半径为2米，高为0.5米 5.某企业生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元．已知总收益R(元)与年产量x(件)的关系式是R(x)＝，则总利润最大时，年产量是( )A．100件B．150件5\nC．200件D．300件 6.已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5.若对任意a∈[－1，1]都有g(x)＜0成立，则实数x的取值范围是____________． 7.(2022·辽宁卷改编)设函数f(x)＝x－x2＋3lnx，证明：当x>0时，f(x)≤2x－2. 1.(2022·湖北卷)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝( )A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克 2.(2022·济阳模拟)三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数．若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心．”请你根据这一发现，求：(1)函数f(x)＝x3－3x2＋3x对称中心为________；(2)若函数g(x)＝x3－x2＋3x－，则g()＋g()＋g()＋g()＋…＋g()＝________．5\n 3.某水渠的横截面如图所示，它的曲边是抛物线形，口宽AB＝2m，渠深OC＝1.5m，水面EF距AB为0.5m.(1)求截面图中水面的宽度；(2)如果把水渠改造为横截面是等腰梯形，并要求渠深不变，不准往回填土，只能挖土，试求当截面梯形的下底边长为多少时，才能使挖出的土最少？第17讲巩固练习1．B、A、D、C解法1：“中点判别法”，若共用时间t，则当t0＝时，(1)中h0＝，且匀速增加，选B；(2)中h0<，先慢后快，选A；(3)中h0>，先快后慢，选D；(4)中h0＝，中间慢两端快，选C.解法2：增长快慢与斜率关系，也可判定．2．B 解析：V(x)＝－x3＋30x2，V′(x)＝－x2＋60x＝－(x2－40x)＝－x(x－40)(0<x<60)．由V′(x)＝0，得x＝40.而当0<x<40时，V′(x)>0；当40<x<60时，V′(x)<0，所以V(x)max＝V(40)＝16000，所以当x＝40时，V(x)取最大值．故选B.3．C 解析：令g(x)＝x·f(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)≤0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又因为0<a<b，所以bf(b)<af(a)，当f(x)＝0时，f(b)＝f(a)＝0，故bf(b)≤af(a)．4．C 解析：设底面半径为r米．由V＝πr2h＝2π，得h＝，即高为米．所用材料即表面积为S(r)，5\n则S(r)＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋(r>0)．由S′(r)＝4πr－＝＝0，得r＝1.而当0<r<1时，S′(r)<0；当r>1时，S′(r)>0，所以当r＝1时，S(r)有最小值S(1)＝6π，此时，底半径为1米，高为2米，材料最省．故选C.5．D 解析：总利润Q(x)＝R(x)－(20000＋100x)＝.当0≤x≤400时，Q(x)＝－(x2－600x)－20000＝－(x－300)2＋25000，所以当x＝300时，Q(x)max＝25000；当x>400时，Q(x)＝60000－100x<20000.综上知，总利润最大时，年产量是300件．6．(－，1)解析：由已知，g(x)＝3x2－ax＋3a－5.令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5.因为对任意a∈[－1,1]都有g(x)＜0成立，即φ(a)＜0恒成立．所以，即，解得－＜x＜1.7．解析：设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则g′(x)＝－1－2x＋＝－.当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调增加，在(1，＋∞)单调减少．而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.提升能力1．D 解析：因为M(t)＝M0·(2－)t，所以M′(t)＝M0·(2－)t·ln2－＝－M0·2－·ln2，所以M′(30)＝－×M0·ln2＝－10ln2所以M0＝600，即M(t)＝600×2－，所以M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．2．(1)(1,1) (2)2022解析：(1)f′(x)＝3x2－6x＋3，f″(x)＝6x－6，令f″(x)＝0⇒x＝1，且f(1)＝1，故对称中心为(1,1)．5\n(2)g′(x)＝x2－x＋3，g″(x)＝2x－1，令g″(x)＝0⇒x＝，此时g()＝1，故函数y＝g(x)关于点(，1)对称，所以g(x)＋g(1－x)＝2，所以g()＋g()＋g()＋…＋g()＝[g()＋g()]＋[g()＋g()]＋…＋[g()＋g()]＝2×1006＝2022.3．解析：建立坐标系，设抛物线方程为x2＝2p(y＋)，以B点坐标(1,0)代入抛物线方程得p＝，所以抛物线的方程为x2＝(y＋)．(1)把F点的坐标(a，－)代入抛物线的方程得a＝，所以水面宽EF＝m.(2)设抛物线上的一点M(t，t2－)(t＞0)，因改造水渠不能填土只能挖土，还要求挖的土最少，所以只能沿过M点与抛物线相切的切线挖土，由y＝x2－.得y′＝3x，所以过点M的切线的斜率为3t，所以切线的方程为y＝3t(x－t)＋(t2－)，当y＝0时，x1＝(t＋)；当y＝－时，x2＝.所以截面的面积S＝(2t＋)≥.当且仅当2t＝，且t＞0，即t＝时，截面的面积最小，此时下底的边长为m.5
