第35讲 数列模型及综合应用 1.某工厂2022年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2022年年底在原有基础上翻两番，则年平均增长率为( )A．5－1B．4－1C．3－1D．4－1 2.设a1，a2，…，a50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50当中取零的项共有( )A．11个B．12个C．15个D．25个 3.从2022年到2022年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄．若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到2022年6月1日，甲去银行不再存款，而是将每年所有的存款的本息全部取回，则取回的金额是( )A．m(1＋q)4B．m(1＋q)5C.D. 4.已知函数f(x)＝3x2＋bx＋1是偶函数，g(x)＝5x＋c是奇函数．若a1＝1，f(an＋an＋1)－g(an＋1·an＋an2)＝1，则正数数列{an}的通项公式为( )A．()n－1B．()n－1C．()nD．()n 5.(2022·合肥八中)如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是______．6\n 6.用砖砌墙，第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，……，依此类推，每一层都用去了前一层剩下的一半多一块，如果到第九层恰好砖用完，那么共用去砖的块数为________． 7.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为n－1千元时多卖出(n∈N*)件．(1)试写出销售量Sn与n的函数关系式；(2)当a＝10，b＝4000时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元的广告，才能获利最大？ 1.如下图，对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，6\n(1)记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中最大的数是b，则a＋b＝______；(2)若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为______． 2.为喜迎广州亚运会，花匠老王计划用600盆鲜花在公园设计一个鲜花摆放造型，其中主题花坛由一批花坛堆成六角垛：顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层底边增加一个花盆(如图所示)，在充分利用的基础上，最少可以剩余______盆鲜花． 3.(2022·湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．第35讲巩固练习1．B 2.A 3.D4．A 解析：f(x)是偶函数⇒b＝0，所以f(x)＝3x2＋1，g(x)是奇函数⇒c＝0，所以g(x)＝5x，又f(an＋an＋1)－g(an＋1an＋an2)＝1，即3(an＋an＋1)2＋1－5(an＋1an＋an2)＝1，(an＋an＋1)[3(an＋an＋1)－5an]＝0.由于{an}为正数数列，即an>0，故3(an＋an＋1)＝5an，＝，又a1＝1，所以{an}是等比数列，且an＝()n－1(n∈N*)．5．55解析：设用an表示第n行实心圆点的个数，由题意，数列{an}为：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，故a11＝55.6．1022解析：设每一层用去的砖块数构成数列{an}，全部砖块数为S，6\n则a1＝S＋1，an＋1＝[S－(a1＋a2＋…＋an)]＋1，即an＋1＝S－Sn＋1，所以an＝S－Sn－1＋1(n≥2)，两式相减，得an＋1－an＝－an，即an＋1＝an(n≥2)．又适合上式，所以{an}是首项a1＝S＋1，公比为的等比数列，所以(S＋1)·＝S，解得S＝1022.7．解析：(1)设S0表示广告费为0元时的销售量．由题意知Sn－Sn－1＝，Sn－1－Sn－2＝，…，S2－S1＝，S1－S0＝，将上述各式相加得，Sn＝b＋＋＋…＋＝＝b·(2－)．(2)当a＝10，b＝4000时，设获利为Tn元．由题意知Tn＝10Sn－1000n＝40000·(2－)－1000n.欲使Tn最大，则，代入解得.所以n＝5，此时S5＝7875.即厂家应生产7875件这种产品，做5千元的广告，才能获利最大．提升能力1．(1)30 (2)15解析：(1)由题意，52＝1＋3＋5＋7＋9，故b＝9；53＝21＋23＋25＋27＋29，故a＝21，所以a＋b＝30.(2)由题意，m3＝211＋213＋215＋…，共m个相邻奇数，6\n由等差数列求和公式得m3＝211m＋×2，整理得m2－m－210＝0，解得m＝15，m＝－14(舍去)．2．88解析：设第n层有an盆鲜花，则有a2－a1＝6，a3－a2＝12，a4－a3＝18，…，an－an－1＝6(n－1)．则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝6(n－1)＋6(n－2)＋…＋6＋1＝3n2－3n＋1.所以Sn＝3(12＋22＋…＋n2)－3(1＋2＋…＋n)＋n＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n＋1)＋n＝n3≤600(n∈N*)．所以n≤8，而S8＝83＝512，所以最少还剩600－512＝88(盆)．3．解析：(1)由题意得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4500－d，an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.(2)由(1)得an＝an－1－d＝()2an－2－d－d＝(an－2－d)－d＝…＝()n－1a1－d[1＋＋()2＋…＋()n－1]．整理得an＝()n－1(3000－d)－2d[()n－1－1]＝()n－1(3000－3d)＋2d.由题意，am＝4000，6\n所以()m－1(3000－3d)＋2d＝4000，解得d＝＝.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000元．6
