第16讲 导数在函数中的应用 1.下列命题中的真命题是( )A．“f′(x)≥0在[a，b]上恒成立”是“连续可导函数f(x)在[a，b]上为增函数”的充要条件B．若f′(x0)＝0，则x0一定是y＝f(x)的极值点C．函数的极大值可能会小于这个函数的极小值D．函数在开区间内不存在最大值和最小值 2.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( ) 3.(2022·福建省四地六校)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(1，4)D．(0，3) 4.(2022·福建卷)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )A．2B．3C．6D．9 5.(2022·汕头调研)若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是__________________．4\n 6.直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是__________． 7.(2022·重庆卷)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值． 1.(2022·江西新余市一中)定义在R上的函数f(x)满足(x＋2)f′(x)<0(其中f′(x)是函数f(x)的导数)，又a＝f(log3)，b＝f[()0.1]，c＝f(ln3)，则( )A．a<b<cB．b<c<aC．c<a<bD．c<b<a 2.(2022·山东省实验中学)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(x∈[－2，2])的图象过原点，且在x＝±1处的切线的倾斜角均为，现有以下三个命题：①f(x)＝x3－4x(x∈[－2，2])；②f(x)的极值点有且只有一个；③f(x)的最大值与最小值之和为零．其中真命题的序号是________． 3.已知函数f(x)＝x2＋bsinx－2(b∈R)，F(x)＝f(x)＋2，且对于任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)＝f(x)＋2(x＋1)＋alnx在区间(0，1)上单调递减，求实数a的取值范围．4\n第16讲巩固练习1．C 解析：选项A中，若y＝c，则y′＝0≥0⇒/y＝c为增函数，A错；B选项中，一定要保证在x0两端导数值异号，如y＝x3在x＝0时y′＝0，但x＝0不是极值点；D项中开区间中也可能有最值，故选C.2．D 解析：当x<0时，f(x)单调递增，所以f′(x)>0，排除A、C；又当x>0时，f(x)是先增后减再增，所以f′(x)的符号是先大于0后小于0再大于0，排除B，选D.3．B 解析：令f′(x)＝(x－3)′·ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)·ex，令f′(x)>0⇒(x－2)ex>0⇒x>2.4．D 解析：f′(x)＝12x2－2ax－2b，由题意f′(1)＝0⇒12－2a－2b＝0⇒a＋b＝6.又a>0，b>0，所以ab≤()2＝9，当且仅当a＝b＝3时，取最小值9.5．[，＋∞)解析：由已知，y′＝3x2＋2x＋m≥0在R上恒成立，所以Δ＝4－12m≤0，所以m≥.6．－2<a<2解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图所示，－2<a<2时，恰有三个不同公共点．7．解析：(1)由f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，得f′(x)＝6x2＋2ax＋b.从而f′(x)＝6(x＋)2＋b－，即y＝f′(x)关于直线x＝－对称，从而由题设条件知－＝－，解得a＝3.又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，4\nf′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝1.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x∈(－2,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数；从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6.提升能力1．D 解析：由(x＋2)f′(x)<0⇒当x<－2时，f′(x)>0；当x>－2时，f′(x)<0，即y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减．又log3∈(－2,0)，()0.1∈(0,1)，ln3>1，故log3<()0.1<ln3，所以f(log3)>f[()0.1]>f(ln3)，即a>b>c.2．①③解析：由f(x)过原点⇒c＝0；又在x＝±1处切线斜率倾斜角为π，则k＝tanπ＝y′|x＝±1，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b⇔f′(±1)＝－1，即1、－1分别为3x2＋2ax＋b＝－1的两根，所以a＝0，b＝－4，所以f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；令f′(x)＝3x2－4＝0⇒x＝±，且在(－2，－)，(，2]上单调递增，在(－，)上单调递减，故有两个极值点，－；易知f(－2)＝0，f(－)＝－＋＝，f()＝－，f(2)＝0，故ymax＋ymin＝0.3．解析：(1)F(x)＝f(x)＋2＝x2＋bsinx－2＋2＝x2＋bsinx，依题意，对任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0.即x2＋bsinx－(－x)2－bsin(－x)＝0，即2bsinx＝0，所以b＝0，所以f(x)＝x2－2.(2)因为g(x)＝x2－2＋2(x＋1)＋alnx，所以g(x)＝x2＋2x＋alnx，g′(x)＝2x＋2＋.因为函数g(x)在(0,1)上单调递减，所以在区间(0,1)内，g′(x)＝2x＋2＋＝≤0恒成立，所以a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．因为－(2x2＋2x)在(0,1)上单调递减，所以a≤－4为所求．4
