易失分点清零(八) 不等式1.已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的( )． A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 由a>b且c>d不能推知a－c>b－d，如取a＝c＝2，b＝d＝1；反过来，由a－c>b－d与c>d可得a－c＋c>b－d＋c>b－c＋c，即有a>b.综上所述，选B.答案 B2．设a，b是非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是( )．A．a2<b2B．ab2<a2bC.<D.<解析 若a<b，可取特殊值验证A，B，D均不正确，∵－＝<0，∴<，故应选C.答案 C3．设函数f(x)＝若f(a)<a，则实数a的取值范围为( )．A．(－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．(3，＋∞)D．(0,1)解析 不等式f(a)<a等价于或解得a≥0或－1<a<0，即不等式f(a)<a的解集为(－1，＋∞)．答案 A4．对x∈R，下列不等式恒成立的是( )．A．lg(x2＋1)≥lg2xB．x2＋1>2xC.<1D．x2＋4≥4x解析 选项A中当x<0时无意义，选项B中当x＝1时不成立，选项C中当x＝0时不成立．选项D成立．答案 D5．已知a>b>c>0，若P＝，Q＝，则( )．A．P≥QB．P≤Q5\nC．P>QD．P<Q解析 P－Q＝－＝＝.因为a>b>c>0，所以P－Q<0，即P<Q.答案 D6．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( )．A．2B．2C．4D．5解析 依题意得＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当＝，即a＝b时，取等号，故应选C.答案 C7．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )．A．2∈M,0∈MB．2∉M,0∉MC．2∈M,0∉MD．2∉M,0∈M解析 不等式(1＋k2)x≤k4＋4可变形为x≤.即得M＝.∵＝(k2＋1)＋－2≥2－2>2，∴2∈M，0∈M，故应选A.答案 A8．设a>b>0，则a2＋＋的最小值为( )．A．1B．2C．3D．4解析 a2＋＋＝a2－ab＋＋ab＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4.等号成立，当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝，b＝，所以式子的最小值为4.答案 D9．(2022·衡阳六校联考)已知实数x，y满足则x2＋y2的最小值是( )．A．2B．5C.D.解析 根据题意作出的不等式组表示的平面区域如图所示，注意到x2＋y2＝[]2，故x2＋y2可视为该平面区域内的点(x，y5\n)与原点的距离的平方．结合图形可知，该平面区域内的所有点与原点的距离的最小值等于原点到直线2x＋y－2＝0的距离，即为＝.因此，x2＋y2的最小值是2＝，选D.答案 D10．设x>0，则函数y＝x＋－1的最小值为________．解析 y＝x＋－1＝＋－≥2－＝，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为.答案 11．不等式|2x－1|－x<1的解集是________．解析 |2x－1|－x<1⇒|2x－1|<x＋1⇒－x－1<2x－1<x＋1⇒0<x<2.答案 {x|0<x<2}12．已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝·的最小值为________．解析 z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，则0<t＝xy≤2＝.由f(t)＝t＋在上单调递减，故当t＝时f(t)＝t＋有最小值，所以当x＝y＝时，z有最小值.答案 13．设实数x，y满足不等式组则z＝的取值范围是________．解析 作出满足x≥1，y≥1，x＋y≤6，x－y＋1≥0的可行域如图中的阴影部分，四个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(1,2)、C、D(5,1)，将目标函数变形为z＝＝＝，而k＝表示可行域中的点(x，y)与原点连线的斜率，数形结合易得可行域中的点D、B5\n与原点连线的斜率分别取得最小值、最大值，故k＝∈，再由函数的性质易得z∈.答案 14．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0⇔(ax－2)(x＋1)≥0.(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇔x≤－1；(2)当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0⇔x≥或x≤－1；(3)当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.①当＞－1，即a＜－2时，原不等式等价于－1≤x≤；②当＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1；③当＜－1，即－2＜a＜0时，原不等式等价于≤x≤－1.综上所述：当a＜－2时，原不等式的解集为；当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2＜a＜0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪.15．已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若m，n∈[－1,1]，m＋n≠0，>0.(1)证明：函数f(x)在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f<f；(3)若不等式f(x)≤4t－3·2t＋3对所有x∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．(1)证明 设任意x1，x2∈[－1,1]，且x1<x2，则由函数y＝f(x)为奇函数，知f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)5\n＝·(x1－x2)．因为>0，x1－x2<0，所以f(x1)<f(x2)．所以函数f(x)在[－1,1]上是增函数．(2)解 因为f<f，所以解得.(3)解 由(1)，知f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(1)＝1，所以当x∈[－1,1]时，f(x)≤1.因为不等式f(x)≤4t－3·2t＋3对所有x∈[－1,1]恒成立，所以4t－3·2t＋3≥1恒成立．所以(2t)2－3·2t＋2≥0，即2t≥2或2t≤1.所以t≥1或t≤0.5
