易失分点清零(一) 集合与常用逻辑用语1.设集合A＝，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是( )．A．4B．3C．2D．1解析 ∵A∩B有2个元素，故A∩B的子集的个数为4.答案 A2．设集合A＝{x||x－2|≤2，x∈R}，B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}，则∁R(A∩B)＝( )．A．RB．{x|x∈R，x≠0}C．{0}D．∅解析 A＝{x||x－2|≤2}＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}＝{y|－4≤y≤0}，∴A∩B＝{0}，则∁R(A∩B)＝{x|x∈R，x≠0}．答案 B3．若条件p：|x＋1|≤4，条件q：x2<5x－6，则綈p是綈q的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 p：A＝{x||x＋1|≤4}＝{x|－5≤x≤3}，q：B＝{x|x2<5x－6}＝{x|2<x<3}，则q是p的充分不必要条件⇔綈p是綈q的充分不必要条件．答案 A4．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2,3，…)”是“{an}为递增数列”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 ∵an＋1>|an|，∴an＋1>an，∴数列{an}为递增数列，但是{an}为递增数列不一定能得到an＋1>|an|，如数列为－4，－2，－1，….虽然为递增数列，但是不满足an＋1>|an|.故选A.答案 A5．下列命题的否定中真命题的个数是( )．①p：当Δ<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c∈R)无实根；②q：存在一个整数b，使函数f(x)＝x2＋bx＋1在[0，＋∞)上是单调函数；③r：存在x∈R，使x2＋x＋1≥0不成立．A．0B．1C．2D．33\n解析 由于命题p是真命题，∴命题①的否定是假命题；命题q是真命题，∴命题②的否定是假命题；命题r是假命题，∴命题③的否定是真命题．故只有一个正确的，故选B.答案 B6．已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}＝{0，|x|，y}＝B，则x＋y＝________.解析 由A＝B知需分多种情况讨论，由lg(xy)有意义，则xy>0.又0∈B＝A，则必有lg(xy)＝0，即xy＝1.此时，A＝B，即{0,1，x}＝{0，|x|，y}．∴或解得x＝y＝1或x＝y＝－1.当x＝y＝1时，A＝B＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，应舍去；当x＝y＝－1时，A＝B＝{0，－1,1}满足题意，故x＝y＝－1.答案 －27．已知集合＝{a2，a＋b,0}，则a－b＝________.解析 由可得a≠0，又a≠1，故a≠a2，从而a＝a＋b，有b＝0，{a,0,1}＝{a2，a,0}，从而由a2＝1且a≠1得a＝－1.故a－b＝－1.答案 －18．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若B⊆A，则实数p的取值范围为________．解析 A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，∵B⊆A，分两种情况：①当B＝∅时，即2p－1<p＋1，解得p<2；②当B≠∅时，即解得2≤p≤3.故实数p的取值范围是(－∞，3]．答案 (－∞，3]9．已知命题p：幂函数y＝x1－a在(0，＋∞)上是减函数；命题q：∀x∈R，ax2－ax＋1>0恒成立．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．解 若命题p真，1－a<0⇔a>1，那么p假时，a≤1；若命题q真，则或a＝0⇔0≤a<4，那么q假时，a<0或a≥4.∵p∧q假，p∨q真，∴命题p与q一真一假．当命题p真q假时，⇔a≥4.当命题p假q真时，⇔0≤a≤1.∴所求a的取值范围是[0,1]∪[4，＋∞)．3\n10．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得B∪(∁AB)＝A？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．解 存在．假设存在实数x，使得B∪(∁AB)＝A，则B是A的真子集，若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．若x＋2＝－x3，则x＝－1，不满足集合元素的互异性，∴x＝1，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}满足题意．3
