易失分点清零(三) 基本初等函数及函数的应用1.已知函数f(x)＝x－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值( )．A．不小于0B．恒为正数C．恒为负数D．不大于0解析 若实数x0是方程f(x)＝0的解，即x0是函数y＝x和y＝log3x的图象的交点的横坐标，因为0<x1<x0，画图易知x1>log3x1，所以f(x1)恒为正数．答案 B2．a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8的大小关系是( )．A．a>b>cB．c>a>bC．b>c>aD．b>a>c解析 由y＝ax的性质知c>1，a<1，b<1，又考虑y＝0.8x的单调性可知a>b，∴c>a>b.答案 B3．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是( )．A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0解析 由图象得函数是减函数，∴0<a<1.又分析得，图象是由y＝ax的图象向左平移所得，∴－b>0，即b<0.从而D正确．答案 D4．(2022·广州模拟)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )．A.B．1C.D．2解析 ∵f(x)＝k·xα是幂函数，∴k＝1.又f(x)的图象过点，∴α＝5\n，∴α＝，∴k＋α＝1＋＝.答案 C5．函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是( )．A．{1,2}B．{1,4}C．{1,2,3,4}D．{1,4,16,64}解析 设关于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2.而f(x)＝ax2＋bx＋c的图象关于x＝－对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两根也关于x＝－对称．而选项D中≠.答案 D6．函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是( )．A．(－∞，1]B．(－∞，0]∪{1}C．(－∞，0)∪{1}D．(－∞，1)解析 当m＝0时，x＝为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一个正根一个负根，即mf(0)<0，即m<0.故选B.答案 B7.已知函数f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则g(x)＝loga(x＋b)的图象是( )．解析 由f(x)＝ax＋b的图象知0<a<1，b>0，则g(x)＝loga(x＋b)为减函数，排除A，B，又函数y＝loga(x＋b)的定义域为(－b，＋∞)，且－b<0，排除C.答案 D8．设函数f(x)＝F(x)＝f(x)＋x，x∈R.F(x)的值域为( )．5\nA．(－∞，1]B．[2，＋∞)C．(－∞，1]∪[2，＋∞)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析 当x>0时，F(x)＝＋x≥2；当x≤0时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 C9．定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝，又g(x)＝cos，则集合{x|f(x)＝g(x)}等于( )．A.B.C．{x|x＝2k＋1，k∈Z}D.解析 由题意，得函数为奇函数，即有f(－x)＝－f(x)．又f(2－x)＝f(x)，所以f(2－x)＝－f(－x)．令t＝－x，则f(t＋2)＝－f(t)，故f(t＋4)＝f(t)，即函数f(x)以4为周期，而函数g(x)＝cos也以4为周期，经画图象观察，在它们公共的定义域[0,4]上，方程f(x)＝g(x)的解只有一个∈[0,1]，故方程的解集为B.答案 B10．设g(x)＝则g＝________.解析 由题可知g＝lg<0，可得g＝glg＝10lg＝.答案 11．设m∈N，若函数f(x)＝2x－m－m＋10存在整数零点，则m的取值集合为________．解析 由题中m∈N，函数f(x)＝2x－m－m＋10存在整数零点知，－5≤x≤10，若使f(x)存在整数零点，则当m≠0时∈Z，于是x只能取1,6,9,10这四个数字，令2x－m－m＋10＝0，则将x的可能取值分别代入方程，可得m∈{3,14,30}；当m＝0时，也符合题意，于是m的取值集合为{0,3，14,30}．答案 {0,3,14,30}12．用二分法求方程x25\n＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．解析 设至少需要计算n次，由题意知<0.001，即2n>100，由26＝64.27＝128知n＝7.答案 713．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为________．解析 当a>1时，f(x)＝ax在[1,2]上为增函数，故f(x)max＝a2，f(x)min＝a，由题意知a2－a＝，解得a＝0(舍)或a＝，故a＝，当0<a<1时，f(x)在[1,2]上为减函数，故f(x)max＝a，f(x)min＝a2，∴a－a2＝，解a＝0(舍)或a＝，综上：a＝或a＝.答案 或14．(2022·日照模拟)2022年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451)解析 由已知条件：14(1＋1.25%)x－2013>20，x－2013>＝＝28.7则x>2041.7，即x＝2042.答案 204215．某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型；①f(x)＝pqx，②f(x)＝logax＋q，③f(x)＝(x－1)·(x－q)2＋p(其中p，q为正常数，且q>2)．能较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选________作为模拟函数；若f(1)＝4，f(3)＝6，则所选函数f(x)的解析式为________．解析 (1)因为f(x)＝pqx，f(x)＝logax＋q是单调函数，f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p中，5\nf′(x)＝3x2－(4q＋2)x＋q2＋2q，令f′(x)＝0，得x＝q，x＝，f(x)有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p为其成绩模拟函数．(2)由f(1)＝4，f(3)＝6，得解得故f(x)＝x3－9x2＋24x－12(1≤x≤12，且x∈Z)．答案 ③ f(x)＝x3－9x2＋24x－12(1≤x≤12，且x∈Z)5
