易失分点清零(十二) 解析几何(二)1.已知动点P(x，y)满足5＝|3x＋4y－11|，则P点的轨迹是( )．A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆解析 由已知，得＝，即动点P(x，y)到定点(1,2)和定直线3x＋4y－11＝0的距离相等，而定点(1,2)在直线3x＋4y－11＝0上，所以P点的轨迹是过点(1,2)且与直线3x＋4y－11＝0垂直的直线．答案 A2．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 要使mx2＋ny2＝1，即＋＝1是焦点在y轴上的椭圆须有⇔m>n>0，故互为充要条件．答案 C3．已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( )．A.B.C.D.解析 双曲线的一个焦点为(c,0)，一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，所以焦点到渐近线的距离为＝c，整理得b2＝a2，所以有c2－a2＝a2，c2＝a2，即c＝a，离心率e＝，选B.答案 B4．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是( )．6\nA．y＝2x2B．y＝8x2C．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋1解析 设AP中点为(x，y)，则P(2x,2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，∴2y＝8x2－1.答案 C5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F与双曲线－＝1的一个焦点重合，直线y＝x－4与抛物线交于A，B两点，则|AB|等于( )．A．28B．32C．20D．40解析 双曲线－＝1的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F的坐标为(4,0)，因此p＝8，故抛物线方程为y2＝16x，易知直线y＝x－4过抛物线的焦点．所以|AB|＝＝＝32(α为直线AB的倾斜角)．答案 B6．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )．A．[3－2，＋∞)B．[3＋2，＋∞)C.D.解析 由题意，得22＝a2＋1，即a＝，设P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，则·＝(x＋2)x＋y·y＝x2＋2x＋－1＝2－，因为x≥，所以·的取值范围为[3＋2，＋∞)．答案 B7．“点M在曲线y2＝4x上”是点M的坐标满足方程y＝－2的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析 点M在曲线y2＝4x上，其坐标不一定满足方程y＝－2，但当点M的坐标满足方程y＝－2时，则点M一定在曲线y2＝4x上，如点M(4,4)时，故选B.答案 B8．设θ是三角形的一个内角，且sinθ＋cosθ＝，则方程＋6\n＝1所表示的曲线为( )．A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线解析 由条件知sinθ·cosθ＝－，且θ∈(0，π)，从而sinθ>0，cosθ<0，故选C.答案 C9．(2022·山东)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为9.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )．A．x2＝yB．x2＝yC．x2＝8yD．x2＝16y解析 双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝＝＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.抛物线的焦点坐标为，所以＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.答案 D10．已知F1、F2为椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率为e，且|PF1|＝e|PF2|，则e的值为( )．A.B．2－C.D．2－解析 设椭圆的中心在原点，焦距为2c，则由题意，知抛物线的准线为x＝－3c，由|PF1|＝e|PF2|，得＝e，由于P为椭圆与抛物线的一个公共点，设点P到抛物线的准线的距离为d，则由抛物线的定义，知＝e.又点P是椭圆上的点，故抛物线的准线也是椭圆的左准线，所以＝3c，解得e＝.答案 C6\n11．已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率等于，则m＝________.解析 (1)当椭圆的焦点在x轴上时，则由方程，得a2＝4，即a＝2.又e＝＝，所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝22－()2＝1.(2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1.则由方程，得b2＝4，即b＝2.又e＝＝，故＝，解得＝，即a＝2b，所以a＝4.故m＝a2＝16.综上，m＝1或16.答案 1或1612．已知双曲线－＝1(b>a>0)，直线l过点A(a,0)和B(0，b)，且原点到直线l的距离为c(c为半焦距)，则双曲线的离心率为________．解析 因为直线l过点A(a,0)和B(0，b)，所以其方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.又原点到直线l的距离为c，所以＝c.又a2＋b2＝c2，所以4ab＝c2，即16a2(c2－a2)＝3c4.所以3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝.又b>a>0，e2＝＝>＝2.所以e2＝4，故e＝2.答案 213．已知F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥.当点P在y轴上运动时，N点的轨迹C的方程为________．解析 ∵＝2，故P为MN中点．又∵⊥，P在y轴上，F为(1,0)，故M在x轴的负半轴上，设N(x，y)，则M(－x,0)，P，(x>0)，∴＝，＝，又∵⊥，∴·＝0，即－x＋＝0，∴y2＝4x(x>0)是轨迹C的方程．答案 y2＝4x(x>0)6\n14．设F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析 设点P的坐标为，则F1P的中点Q的坐标为.当y≠0时，则kF1P＝，kQF2＝，由kF1P·kQF2＝－1，得y2＝，y2>0，即2c2－b2>0，即3c2－a2>0，即e2>，故<e<1；当y＝0时，此时F2为PF1的中点，由－c＝2c，得e＝.综上，得≤e<1.答案 15.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M(3,1)．平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，且交椭圆于A，B两不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；(3)设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0.(1)解 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，⇒所求椭圆的方程为＋＝1.(2)解 ∵直线l∥OM且在y轴上的截距为m，∴直线l的方程为y＝x＋m.由⇒2x2＋6mx＋9m2－18＝0.∵直线l交椭圆于A，B两点，∴Δ＝(6m)2－4×2×(9m2－18)>0⇒－2<m<2，所以m的取值范围是(－2,0)∪(0,2)．(3)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1＝，k2＝.由2x2＋6mx＋9m2－18＝0，得6\nx1＋x2＝－3m，x1x2＝m2－9.又y1＝x1＋m，y2＝x2＋m，代入k1＋k2＝，整理得k1＋k2＝＝＝0，∴k1＋k2＝0.6
