活页作业 平面向量基本定理与坐标运算一、选择题1．在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且＝2，则点C的坐标是( )A．(－4,2) B．(－4，－2)C．(4，－2) D．(4,2)解析：设C(x，y)，则D，再由＝2得(0，－4)＝2，∴4＋x＝0，－2＋y＝－4，即C(－4，－2)．答案：B2．(理)(2022·广东高考)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝( )A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10) D．(－6，－10)解析：＝＋＝－＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．答案：A2．(文)(2022·广东高考)若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝( )A．(4,6) B．(－4，－6)C．(－2，－2) D．(2,2)解析：＝＋＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．答案：A3．(原创题)已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.给出以下结论：①若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝－2；②若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝2；③存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线；④不存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线．其中正确结论的个数是( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：(1)由题意得a＝λb，即2e1－e2＝λke1＋λe2，而e1与e2不共线．5\n∴，解得k＝－2.故①正确，②不正确．(2)若e1与e2共线，则e2＝λe1，有∵e1，e2，a，b为非零向量，∴λ≠2且λ≠－k，∴a＝b，即a＝b，这时a与b共线，∴不存在实数k满足题意．故③不正确，④正确．综上正确的结论为①④.答案：B4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量＝a，＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3).＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )解析：＝λa＋μb＝λ(3,1)＋μ(1,3)＝(3λ＋μ，λ＋3μ)．∵0≤λ≤μ≤1，∴0≤3λ＋μ≤4,0≤λ＋3μ≤4，且3λ＋μ≤λ＋3μ.答案：A5．(理)在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A、B、C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ，使得＝λ·＋(1－λ)·成立，此时称实数λ为“向量关于和的终点共线分解系数”．若已知P1(3,1)、P2(－1,3)，且向量与向量a＝(1,1)垂直，则“向量关于和的终点共线分解系数”为( )A．－3 B．3 C．1 D．－1解析：由与向量a＝(1,1)垂直，可设＝(t，－t)(t≠0)，由＝λ·＋(1－λ)·得(t，－t)＝λ(1,3)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，5\n∴，两式相加得2λ＋2＝0，∴λ＝－1.答案：D5．(文)若α，β是一组基底，向量γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )A．(2,0) B．(0，－2)C．(－2,0) D．(0,2)解析：由已知a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)，设a＝λm＋μn＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)，则由⇒，∴a＝0m＋2n，∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．答案：D6．(理)(2022·青岛模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－)，n＝(cos2B,2cos2－1)，且m∥n，则锐角B的值为( )A．－ B． C. D．解析：由m∥n知2sinB(2cos2－1)＝－cos2B，∴sin2B＝－cos2B，∴tan2B＝－.又0<B<，∴0<2B<π，∴2B＝，∴B＝.答案：D6．(文)(2022·台州模拟)已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tan等于( )A．3 B．－3 C. D．－解析：∵a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b∴＝，∴tanα＝－.5\n∴tan＝＝＝－3.故选B.答案：B二、填空题7．(金榜预测)△ABC的三个内角，A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)与q＝(b－a，c－a)是共线向量，则角C＝________.解析：∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，∴a2＋b2－c2＝ab.∴cosC＝＝，∴C＝60°.答案：60°8．已知O为原点，点A、B的坐标分别为(a,0)、(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且A＝t(0≤t≤1)，则O·O的最大值为________．9．(2022·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．解析：设圆心运动到C时，圆与x轴的切点为D，则弧PD长为2，所以∠PCD＝2，点P的横坐标为2－cos＝2－sin2，点P的纵坐标为1＋sin＝1－cos2，所以点P坐标为(2－sin2,1－cos2)，即的坐标为(2－sin2,1－cos2)．答案：(2－sin2,1－cos2)5\n三、解答题10．已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，O＝t1＋t2.(1)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；(2)若t1＝a2，求当O⊥A且△ABM的面积为12时a的值．5
