活页作业 不等式和绝对值不等式一、选择题1．设ab＞0，下面四个不等式中，正确的是( )①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|.A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④解析：∵ab＞0，a，b同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①和④正确．4．下列四个命题中正确的是( )A．若a，b∈R，则|a|－|b|<|a＋b|B．若a，b∈R，则|a－b|<|a|＋|b|C．若实数a，b满足|a－b|＝|a|＋|b|，则ab≤0D．若实数a，b满足|a|－|b|<|a＋b|，则ab<0解析：当a＝2，b＝0时，|a|－|b|＝|a＋b|，|a－b|＝|a|＋|b|，所以A，B均不正确；当a＝0，b＝2时，|a|－|b|<|a＋b|成立，但ab＝0，D不正确．综上，选C.答案：C5．若实数x，y满足＋＝1，则x2＋2y2有( )4\nA．最大值3＋2 B．最小值3＋2C．最大值6 D．最小值6解析：据题意可得：x2＋2y2＝(x2＋2y2)·＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝且＋＝1，即x2＝1＋，y2＝1＋时等号成立．即x2＋2y2的最小值为3＋2.答案：B6．已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是( )A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题7．(2022·南京模拟)若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为______．解析：由|3x－b|<4，得<x<，即解得5<b<7.答案：(5,7)8．(2022·烟台模拟)在实数的原有运算法则中，定义新运算a⊗b＝a－2b，则|x⊗(1－x)|＋|(1－x)⊗x|>3的解集为____________．解析：不等式为|3x－2|＋|3x－1|>34\n即|x－|＋|x－|>1仅当x＝±1，y＝±1，z＝±1时，等号成立，所以①正确；而≥仅对x，y∈(0，＋∞)时成立，所以②不正确；|x＋y|＝|(x－2)＋(x＋2)|≤|x－2|＋|y＋2|，所以③正确；x2＋y2＋z2＝[(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(x2＋z2)]≥xy＋yz＋zx，当且仅当x2＝y2＝z2时，等号成立，所以④正确．答案：①③④三、解答题10．(2022·江苏高考)已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<.求证：|y|<.证明：因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，从而3|y|<＋＝，所以|y|<.4\n11．(2022·新课标全国高考)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．此不等式化为不等式组或即或.因为a>0，所以不等式组的解集为.由题设可得－＝－1，故a＝2.4
