活页作业 三个重要的不等式一、选择题1．设a，b∈R，若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为( )A．2 B．3 C．4 D．53．函数y＝3＋4的最大值为( )A．3 B．4 C．5 D．6解析：函数的定义域为[5,6]，且y>0，故y＝3＋4≤×＝5，所以ymax＝5.答案：C4．x，y∈R，且x2＋y2＝10，则2x－y的取值范围为( )A．[－5，5] B．(－5，5)C．(－∞，5] D．(5，＋∞)解析：∵(x2＋y2)[22＋(－1)2]≥(2x－y)2，∴－5≤2x－y≤5.答案：A5．已知a＞0，且M＝a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3，N＝a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2，则M与N的大小关系是( )A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M<N解析：取两组数：a，a＋1，a＋2与a2，(a＋1)2，(a＋2)2，显然a3＋(a＋1)3＋(a＋2)34\n是顺序和；而a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2是乱序和，由排序不等式易知此题中，“顺序和”大于“乱序和”．故应选B.答案：B6．已知x＋y＋z＝1，则μ＝2x2＋3y2＋z2的最小值为( )A．1 B．6 C．11 D.二、填空题7．已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x2＋y2＋z2的最小值是________．解析：由三角形面积相等知：(x＋y＋z)×2＝×2×3⇒x＋y＋z＝3，由柯西不等式知：(x2＋y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋y＋z)2＝9⇒x2＋y2＋z2≥3，当且仅当x＝y＝z时取等号．答案：38．已知x2＋2y2＋3z2＝，则3x＋2y＋z的最小值为________．解析：∵(x2＋2y2＋3z2)[32＋()2＋2]≥2＝(3x＋2y＋z)2，当且仅当x＝3y＝9z时等号成立．∴(3x＋2y＋z)2≤12，4\n11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，比较a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小．解：由a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的对称性，不妨设a≥b≥c>0，有a2≥b2≥c2>0，显然a3＋b3＋c3是顺序和，a2b＋b2c＋c2a是乱序和，4\n所以a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.12.等腰直角三角形AOB的直角边长为1.如图，在此三角形中任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及取到最小值时P的位置．4
