课时提升作业(二十六)平面向量应用举例一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4= ( )A.(-1,-2) B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)【解析】选D.由物理知识知:f1+f2+f3+f4=0,故f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).2.(2022·东营模拟)已知点A(-2,0),B(0,0),动点P(x,y)满足·=x2,则点P的轨迹是 ( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选D.=(-2-x,-y),=(-x,-y),则·=(-2-x)(-x)+y2=x2,所以y2=-2x.3.(2022·南宁模拟)已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1),且a∥b,则2sinαcosα等于( )【解析】选D.由a∥b得cosα=-2sinα,所以tanα=-.所以2sinαcosα=4.(2022·厦门模拟)过点M(2,0)作圆x2+y2=1的两条切线MA,MB(A,B为切点),则·= ( )A.B.C.D.【解析】选D.过点M(2,0)作圆x2+y2=1的两条切线MA,MB(A,B为切点),因为|OM|=2,圆的半径为1,所以|MA|=|MB|=,且与的夹角为60°,故·=||||cos60-9-\n°=×cos60°=,选D.5.(2022·哈尔滨模拟)在△ABC中,若则△ABC面积的最大值为( )A.24B.16C.12D.8【解题提示】先根据求b2+c2的值,从而求得bc的最大值.把cosA用bc表示,从而sinA可用bc表示,最后用S△ABC=bcsinA求解.【解析】选C.由题意可知AB=c,AC=b,所以b·ccosA=7,所以所以b2+c2=50≥2bc,所以bc≤25.【加固训练】若则△ABC的面积是( )A.1B.2C.D.2【解析】选C.因为所以的夹角为θ,易知θ与∠BCA为对顶角,所以θ=∠BCA.cosθ=1×4cosθ=2,得cosθ=,所以cos∠BCA=,sin∠BCA=,所以6.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对应的三角形的边长,若=0,-9-\n则cosB=( )【解题提示】将其中一个向量转化为用另外两个向量来表示,利用两向量不共线得边a,b,c的关系,再利用余弦定理求解.【解析】选A.由=0得=0,又不共线,7.(2022·淄博模拟)在平行四边形ABCD中,E,F分别是边CD和BC的中点,若(λ,μ∈R),则log(λμ)的值为( )A.-2B.-1C.1D.2【解析】选A.如图,令=a,=b,则=a+b,①因为a,b不共线,由①,②得-9-\n二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2022·安庆模拟)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若(2a-c)+(2a-b)=0,则cosB= .【解题提示】利用与不共线得a,b,c关系后利用余弦定理求解.【解析】因为(2a-c)+(2a-b)=0,又与不共线,故得所以cosB===.答案:【方法技巧】利用向量求解三角形问题的策略(1)当以向量的非坐标形式给出边关系时,通常采用基底法进行转化,要注意共线、垂直条件的应用,同时向量线性运算的几何意义也要时刻想到.(2)当以向量的坐标形式给出三角形中边角关系时,通常是利用坐标运算转化后边化角或角化边来寻求问题的突破.9.已知A,B,C是圆x2+y2=1上的三点,且+=,其中O为坐标原点,则▱OACB的面积等于 .-9-\n【解析】如图所示,由||=||=||=1,+=得▱OACB为边长为1的菱形,且∠AOB=120°.所以S▱OACB=||||sin120°=1×1×=.答案:10.(2022·牡丹江模拟)在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为 .【解析】如图所示,渡船速度为,水流速度为,船实际垂直过江的速度为,依题意知||=,||=25.因为=+,所以·=·+,因为⊥,所以·=0,所以25×cos(∠BOD+90°)+=0,所以cos(∠BOD+90°)=-,所以sin∠BOD=,所以∠BOD=30°,所以航向为北偏西30°.答案:北偏西30°(20分钟 40分)1.(5分)(2022·保定模拟)已知△ABC的外接圆圆心为O,若,则△ABC是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不能确定【解题提示】利用已知判断O点的位置,再依据O为外心可解.【解析】选C.由可得O为BC边的中点.又O为△ABC的外心,故BC为△ABC外接圆的直径,-9-\n故∠BAC=90°,故△ABC为直角三角形.2.(5分)在平面直角坐标系中,O为原点,=(1,0),若则||的最小值为( )A.3.5B.4.5C.5.5D.6.5【解析】选C.设P(x,y),则=(x,y).又因为所以(x-1)2+y2=x2,得y2=2x-1,又=(-5,0),因为2x-1≥0,所以x≥,3.(5分)已知向量a=,=a-b,=a+b,若△OAB是等边三角形,则△OAB的面积为 .【解析】因为a=,=a-b,=a+b,所以+=(a-b)+(a+b)=2a=(-1,),所以所以等边三角形OAB的高为1,边长为,因此其面积为答案:4.(12分)(2022·重庆模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.-9-\n(1)求cosB的值.(2)若·=2,且b=2,求a和c的值.【解析】(1)由正弦定理,得2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB(R为△ABC外接圆半径),所以sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,即sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,所以sin(B+C)=3sinAcosB,又sin(B+C)=sin(π-A)=sinA.所以sinA=3sinAcosB.因为sinA≠0,所以cosB=.(2)由·=2,得accosB=2,由(1)知cosB=,所以ac=6①.又因为b2=a2+c2-2accosB,即8=a2+c2-4,所以a2+c2=12②.由①②式解得a=c=.【加固训练】(2022·石家庄模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若·=·=k(k∈R),(1)判断△ABC的形状.(2)若c=,求k的值.【解析】(1)因为·=cbcosA,·=cacosB,又·=·,所以bccosA=accosB,所以sinBcosA=sinAcosB,即sinAcosB-sinBcosA=0,所以sin(A-B)=0,因为-π<A-B<π,所以A=B,即△ABC为等腰三角形.(2)由(1)知,·=bccosA=bc·==k,因为c=,所以k=1.-9-\n5.(13分)(能力挑战题)已知点A(-1,0),B(1,0),动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ,cos2θ=3,过点B的直线交曲线C于P,Q两点.(1)求的值,并写出曲线C的方程.(2)设直线PQ的倾斜角是,试求△APQ的面积.【解题提示】(1)先根据向量的运算确定点M的轨迹,然后根据相关的值写出曲线C的方程.(2)写出直线PQ的方程,与曲线C的方程组成方程组,根据根与系数的关系求△APQ的面积.【解析】(1)设M(x,y),在△MAB中,|AB|=2,∠AMB=2θ,根据余弦定理得因此点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意),a=2,c=1.所以曲线C的方程为(2)由题意得直线PQ的方程为:y=x-1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得7x2-8x-8=0,所以x1+x2=,-9-\nx1x2=-,y1+y2=x1+x2-2=-,y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-,因为A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2.所以S△APQ=S△ABP+S△ABQ即△APQ的面积是-9-
