课时提升作业(四十七)椭 圆一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知椭圆与双曲线=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于( )A.B.C.D.【解析】选B.因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为=1(a>b>0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以根据椭圆的定义可得2a=10⇒a=5,则c==4,e=选B.2.(2022·烟台模拟)一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选A.设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).由点P(2,)在椭圆上知=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=2×2c,又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=6.【加固训练】已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1【解析】选D.设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,-13-\n所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.3.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为 ( )A.B.C.D.【解析】选D.在Rt△PF1F2中,令|PF2|=1,因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2,|F1F2|=.所以e===.故选D.4.(2022·聊城模拟)椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点,l:x=,且PQ⊥l,垂足为Q,若四边形PQF1F2为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是( )A.(,1)B.(0,)C.(0,)D.(,1)【解析】选A.设点P(x1,y1),由于PQ⊥l,故|PQ|=x1+,因为四边形PQF1F2为平行四边形,所以|PQ|=|F1F2|=2c,即x1+=2c,则有x1=2c->-a,所以2c2+ac-a2>0,即2e2+e-1>0,解得e<-1或e>,由于0<e<1,所以<e<1,即椭圆离心率的取值范围是(,1).故选A.【加固训练】(2022·金华模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰有8个不同的点P,使得△F1F2P为直角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是( )A.(0,)B.(0,]C.(,1)D.[,1)【解析】选C.由题意,问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF1与直线PF2垂直,-13-\n所以|OP|=c>b,即c2>a2-c2,所以a<c,因为e=,0<e<1,所以<e<1.5.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( )A.2B.3C.6D.8【解析】选C.设椭圆上任意一点P(x0,y0),则有=1,即=3-,O(0,0),F(-1,0),则·=x0(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)2+2.因为|x0|≤2,所以当x0=2时,·取得最大值为6,故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为 .【解析】由题意知|OM|=|PF2|=3,所以|PF2|=6,所以|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.答案:47.分别过椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1,l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是 .【解题提示】关键是由l1,l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.又点P在椭圆内部,所以有c2<b2,-13-\n又b2=a2-c2,所以有c2<a2-c2,即2c2<a2,亦即:所以答案:(0,)8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为 .【解题提示】利用余弦定理确定|AF|,进而判定△ABF的形状,然后利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率.【解析】如图,设|AF|=x,则cos∠ABF=解得x=6(负值舍去),所以∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8,且∠FAF1=∠FAB+∠FBA=90°,△FAF1是直角三角形,所以|F1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,所以答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2022·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.-13-\n(1)若点C的坐标为,且|BF2|=,求椭圆的方程.(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.【解析】(1)由题意F2(c,0),B(0,b),|BF2|=又C,所以=1,解得b=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)直线BF2方程为=1,与椭圆方程=1联立方程组,解得A点坐标为则C点的坐标为又F1(-c,0),=又kAB=-,由F1C⊥AB,得·(-)=-1,即b4=3a2c2+c4,所以(a2-c2)2=3a2c2+c4,-13-\n化简得e=10.(2022·台州模拟)已知椭圆E:=1的右焦点恰好是抛物线C:y2=4x的焦点F,点A是椭圆E的右顶点,过点A的直线l交抛物线C于M,N两点,满足OM⊥ON,其中O是坐标原点.(1)求椭圆E的方程.(2)过椭圆E的左顶点B作y轴平行线BQ,过点N作x轴平行线NQ,直线BQ与NQ相交于点Q,若△QMN是以MN为一条腰的等腰三角形,求直线MN的方程.【解析】(1)F(1,0),所以a2-b2=1,A(a,0),设直线l:x=a+my代入y2=4x中,整理得y2-4my-4a=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则又因为=4x1,=4x2,所以x1x2==a2,由OM⊥ON,得·=x1x2+y1y2=a2-4a=0,解得a=4或a=0(舍),得b2=15,所以椭圆E的方程为=1.(2)椭圆E的左顶点B(-4,0),所以点Q(-4,y2),易证M,O,Q三点共线.①当QM为等腰△QMN的底边时,由于ON⊥OM,所以O是线段MQ的中点,所以所以m=0,即直线MN的方程为x=4.②当QN为等腰△QMN的底边时,×2=-4,-13-\n又因为y1y2=-16,解得所以m=±所以直线MN的方程为x=4±y,即y=±(x-4).综上所述,当△QMN为等腰三角形时,直线MN的方程为x=4或y=±(x-4).(20分钟 40分)1.(5分)已知椭圆=1,若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是( )A.(,)B.(-,)C.(-,)D.(-,)【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),kAB==-,x1+x2=2x,y1+y2=2y,3+4=12 ①,3+4=12 ②,①②两式相减得3(-)+4(-)=0,即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,则<1,即-<m<.-13-\n【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧对于直线与椭圆相交问题,若题设和待求涉及弦的中点和所在直线的斜率,求解时一般先设交点坐标,代入曲线方程,再用平方差公式求解,这种解法大大减少了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算.2.(5分)(2022·泉州模拟)若函数f(x)的图象能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分,则函数f(x)称为椭圆的“可分函数”,下列函数不是椭圆+y2=1的可分函数的是( )A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=lnD.f(x)=ex+e-x-2【解析】选D.A中,因为f(x)=x3是奇函数,所以f(x)=x3的图象关于原点对称,故f(x)=x3是椭圆的“可分函数”;B中,因为f(x)=sinx是奇函数,所以其图象关于原点对称.所以f(x)=sinx是椭圆的“可分函数”;C中,因为f(x)+f(-x)=ln+ln=ln1=0,所以f(x)是奇函数,同理可知f(x)是椭圆的“可分函数”;D中,因为f(x)=ex+e-x-2不是奇函数,所以f(x)=ex+e-x-2的图象关于原点不对称,所以f(x)=ex+e-x-2不是椭圆的“可分函数”.【加固训练】1.已知F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,A是椭圆上一动点,圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切,若M(t,0)为一个切点,则( )A.t=2B.t>2C.t<2D.t与2的大小关系不确定【解题提示】先画出图形,注意圆的切线的性质以及椭圆的定义即可求解.【解析】选A.如图,P,Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点,-13-\n则|MF2|=|F2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|,即|F1M|+|MF2|=2a.所以t=a=2.2.已知椭圆(a>b>0),以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线,切点为A,B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为( )【解析】选B.由题意知|OA|=|AP|=b,|OP|=a,OA⊥AP,所以2b2=a2,故e=故选B.3.(5分)已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线与椭圆相交于A,B两点,若·=0,||=||,则椭圆的离心率为 .【解析】在Rt△ABF2中,设|AF2|=m,则|AB|=m,|BF2|=m,所以4a=(2+)m.又在Rt△AF1F2中,|AF1|=2a-m=m,|F1F2|=2c,所以(2c)2=(m)2+m2=m2,则2c=m.-13-\n所以椭圆的离心率e===-.答案:-【加固训练】直线y=-x与椭圆C:=1(a>b>0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆C的离心率为( )A.B.C.-1D.4-2【解析】选C.设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,由题意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c,由y=-x得∠AOF2=,∠AOF1=.所以|AF2|=c,|AF1|=c.由椭圆定义知,|AF1|+|AF2|=2a,所以c+c=2a,所以e==-1.4.(12分)(2022·兰州模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,且过点(1,),右焦点为F2,设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M的横坐标为-,线段AB的中垂线交椭圆C于P,Q两点.(1)求椭圆C的方程.(2)求·的取值范围.【解析】(1)因为焦距为2,所以a2-b2=1.-13-\n因为椭圆C过点(1,),所以=1,故a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)讨论当直线AB垂直于x轴,直线AB方程为x=-,此时P(-,0),Q(,0),得·=-1.当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k(k≠0),M(-,m)(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),利用“点差法”,首先得到4mk=1;得到PQ的直线方程为y-m=-4m(x+),即y=-4mx-m.联立消去y,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.设P(x3,y3),Q(x4,y4),应用根与系数的关系,得到·=根据M(-,m）在椭圆的内部,得到0<m2<,进一步得到·的取值范围为5.(13分)(能力挑战题)已知焦点在y轴上的椭圆C1:+=1经过点A(1,0),且离心率为.(1)求椭圆C1的方程.(2)抛物线C2:y=x2+h(x∈R)在点P处的切线与椭圆C1交于两点M,N,记线段MN与PA的中点分别为G,H,当GH与y轴平行时,求h的最小值.【解析】(1)由题意可得解得a=2,b=1,所以椭圆C1的方程为+x2=1.(2)设P(t,t2+h),由y′=2x,得抛物线C2在点P处的切线斜率为k=y′|x=t=2t,-13-\n所以MN的方程为y=2tx-t2+h,代入椭圆方程得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,化简得4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0,又MN与椭圆C1有两个交点,故Δ=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0,①设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点的横坐标为x0,则x0==,设线段PA中点的横坐标为x3=,由已知得x0=x3,即=,②显然t≠0,所以h=-(t++1),③当t>0时,t+≥2,当且仅当t=1时取等号,此时h≤-3,不满足①式,故舍去;当t<0时,(-t)+(-)≥2,当且仅当t=-1时取等号,此时h≥1,满足①式.综上,h的最小值为1.【加固训练】(2022·南宁模拟)设椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程.(2)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.【解析】(1)依题意知,2a=4,所以a=2.因为所以c=,b=所以所求椭圆C的方程为=1.(2)因为点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),所以-13-\n解得所以3x1-4y1=-5x0.因为点P(x0,y0)在椭圆C:=1上,所以-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10.所以3x1-4y1的取值范围为[-10,10].-13-
