课时提升作业(二十七)数系的扩充与复数的引入一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2022·安顺模拟)在复平面内,复数对应的向量的模是( )A.B.1C.2D.2【解析】选A.==1-i,则复数对应的向量的模为|1-i|=,故选A.2.(2022·浙江高考)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反过来(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,则解得或所以“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件.3.在复平面内,复数i(2-i)对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.i(2-i)=2i-i2=1+2i,所以对应的点(1,2)位于第一象限.4.(2022·兰州模拟)已知复数z=(a2-1)+(a-1)i(a∈R)是纯虚数,则a=( )A.0B.1C.-1D.±1【解析】选C.由题意得解得a=-1.5.若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( )A.-4B.-C.4D.【解析】选D.设z=a+bi(a,b∈R),则(3-4i)z=(3-4i)·(a+bi)=5,化简得3a+4b+(3b-4a)i=5,所以解得即z=+i.-7-\n【一题多解】选D.由已知(3-4i)z=|4+3i|==5,故z===+i,故z的虚部为.6.(2022·泉州模拟)复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题提示】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断.【解析】选A.z===+i,显然>0与->0不可能同时成立,则z=对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】本题还可用以下方法求解.z==+i,设x=,y=,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=对应的点不可能位于第一象限.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.7.计算=( )A.-iB.+iC.-iD.+i【解析】选D.原式===-=-=+i.-7-\n【一题多解】本题还可有如下解法:原式===+i.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2022·湖南高考)复数(i为虚数单位)的实部等于 .【解析】因为==-3-i,所以实部为-3.答案:-39.(2022·日照模拟)若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z2+= .【解析】因为z=1+i,所以=1-i,则z2+=(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0.答案:010.若定义=ad-bc(a,b,c,d为复数),则= .【解题提示】充分利用定义代入求解即可.【解析】由已知定义可知=2i×[(3-2i)i]-(3i)2=-2(3-2i)+9=3+4i.答案:3+4i(20分钟 40分)1.(5分)若复数z=(a2+2a-3)+(a-1)i为纯虚数(i为虚数单位),则实数a的值为( )A.1B.-3C.1或-3D.3【解析】选B.复数z=(a2+2a-3)+(a-1)i为纯虚数(i为虚数单位),则解得a=-3.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因是对纯虚数的概念理解不清,忽视了a-1≠0.-7-\n【加固训练】设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a为 .【解析】若===+i为纯虚数,则故a=2.答案:22.(5分)已知复数z满足|z|=1,则|z-(4+3i)|的最大、最小值为( )A.5,3B.6,4C.7,5D.6,5【解题提示】利用复数的几何意义或设出后代入求解.【解析】选B.方法一:由|z|=1知复数z对应的点为以原点为圆心,以1为半径的圆上的点.而|z-(4+3i)|则表示单位圆上的点到点P(4,3)的距离.又|OP|==5,故|z-(4+3i)|max=5+1=6,|z-(4+3i)|min=5-1=4.方法二:设z=x+yi(x,y∈R),则由|z|=1得x2+y2=1,又|z-(4+3i)|=|(x-4)+(y-3)i|=,由几何意义可知上式为单位圆上的点到P(4,3)点的距离.又|OP|=5,故|z-(4+3i)|max=5+1=6,|z-(4+3i)|min=5-1=4.3.(5分)(2022·重庆模拟)设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是( )A.若|z1-z2|=0,则=B.若z1=,则=z2C.若=,则z1·=z2·D.若=,则=-7-\n【解析】选D.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).选项具体分析结论A若|z1-z2|=0,则=0,所以a=c,b=d,即z1=z2,故=正确B若z1=,则a=c,b=-d,所以=z2正确C若|z1|=|z2|,则a2+b2=c2+d2,所以z1·=z2·正确D=(a2-b2)+2abi,=(c2-d2)+2cdi,在a2+b2=c2+d2的前提下不能保证a2-b2=c2-d2,2ab=2cd错误4.(12分)(2022·临沂模拟)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根.(1)试求b,c的值.(2)1-i是否是所给方程的根,试给出判断.【解题提示】(1)由复数相等列关于b,c的方程组求解.(2)代入方程验证即可.【解析】(1)由于1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个根,则(1+i)2+b(1+i)+c=0,整理得(b+c-1)+(2+b)i=0,则解得即b=-2,c=3.(2)由(1)得方程为x2-2x+3=0,把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+3=1-2i+2i2-2+2i+3=1-2-2+3=0,即1-i满足方程x2-2x+3=0,所以1-i是所给方程的根.【加固训练】已知复数z=bi(b∈R),是实数,i是虚数单位.(1)求复数z.(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围.-7-\n【解析】(1)因为z=bi(b∈R),所以====+i.又因为是实数,所以=0,所以b=-2,即z=-2i.(2)因为z=-2i,m∈R,所以(m+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2=(m2-4)-4mi,又因为复数(m+z)2所表示的点在第一象限,所以解得m<-2,即m∈(-∞,-2).5.(13分)(能力挑战题)若虚数z同时满足下列两个条件:①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.【解题提示】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),根据条件①②列关于实数a,b的方程组,把复数问题转化为实数的计算.【解析】存在.设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z+=a+bi+=a+bi.又z+3=a+3+bi,z+是实数,根据题意有因为b≠0,所以解得或所以z=-1-2i或z=-2-i.【加固训练】已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a,b的值.(2)若复数满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.【解题提示】(1)把b代入方程,根据复数的实部、虚部等于0解题即可.(2)设z=s+ti(s,t∈R),根据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,根据轨迹解决|z|的最值问题.-7-\n【解析】(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,所以解得a=b=3.(2)设z=s+ti(s,t∈R),其对应点为Z(s,t),由|-3-3i|=2|z|,得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),即(s+1)2+(t-1)2=8,所以Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,当Z点在OO1的连线上时,|z|有最大值或最小值.因为|OO1|=,半径r=2,所以当z=1-i时,|z|有最小值且|z|min=.-7-
