第4讲数系的扩充与复数的引入1．(2022·西安地区八校联考)已知i是虚数单位，则＝( )A. B.C.D.解析：选B.＝＝＝，选B.2．(2022·高考全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( )A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i解析：选C.因为(z－1)i＝i＋1，所以z－1＝＝1－i，所以z＝2－i.3．(2022·唐山质量监测)已知a∈R，若为实数，则a＝( )A．2B．－2C．－D.解析：选C.＝＝＝＋i，因为为实数，所以＝0，所以a＝－.4．(2022·商丘模拟)已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝( )A．－7B．7C．－4D．4解析：选A.因为＝1＋＋＝－3－4i， 所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，所以a＋b＝－7，故选A.5．(2022·河北省衡水中学模拟)复数的共轭复数为( )A．iB．－iC．2－iD．－2＋i解析：选B.＝＝＝＝i，所以所求的共轭复数为－i，故选B.6．设z1，z2是复数，则下列命题中为假命题的是( )A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z＝z3\n解析：选D.对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命题．7．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m(1＋i)＝1＋ni，则＝________．解析：由m(1＋i)＝1＋ni，得m＋mi＝1＋ni，即m＝n＝1，所以＝＝i2＝－1.答案：－18．(2022·河北省教学质量检测)已知m∈R，复数－的实部和虚部相等，则m＝________．解析：－＝－＝－＝，由已知得m＝1－m，则m＝.答案：9．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝________．解析：z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.答案：－510．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________．解析：因为|z－2|＝＝，所以(x－2)2＋y2＝3.由图可知＝＝.答案：11．计算：(1)；(2)＋；(3).解：(1)＝3\n＝＝＝＋i.(2)＋＝＋＝＋＝－1.(3)＝＝＝＝－－i.1．(2022·宁夏银川一中一模)已知复数(1＋i)(a＋bi)＝2＋4i(a，b∈R)，则函数f(x)＝2sin＋b图像的一个对称中心是( )A.B.C.D.解析：选D.因为(1＋i)(a＋bi)＝2＋4i，所以a＋bi＝＝＝3＋i，所以a＝3，b＝1.f(x)＝2sin＋1，令3x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝－＋，k∈Z，令k＝1，得x＝，所以f(x)＝2sin＋1的一个对称中心为，故选D.2．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若z1＋z2是实数，求实数a的值．解：z1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.因为z1＋z2是实数，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.因为a＋5≠0，所以a≠－5，故a＝3.3．已知复数z的共轭复数是z，且满足z·z＋2iz＝9＋2i.求z.解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.因为z·z＋2iz＝9＋2i，所以(a＋bi)(a－bi)＋2i(a＋bi)＝9＋2i，即a2＋b2－2b＋2ai＝9＋2i，所以由②得a＝1，代入①，得b2－2b－8＝0.解得b＝－2或b＝4.所以z＝1－2i或z＝1＋4i.3
