第八章第五节椭圆一、选择题1．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A．6 B．5C．4D．32．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )A．至多一个B．2个C．1个D．0个3．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )A．a2＝B．a2＝13C．b2＝D．b2＝24．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为( )A.B.C.D.5．方程为＋＝1(a>b>0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若3＝＋2，则该椭圆的离心率为( )A.B.C.D.7\n6．已知椭圆E：＋＝1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是( )A．kx＋y＋k＝0B．kx－y－1＝0C．kx＋y－k＝0D．kx＋y－2＝0二、填空题7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是________．8．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．9．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．三、解答题10．设椭圆C∶＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C.连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；7\n(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意的k>0，求证：PA⊥PB.12．已知椭圆G∶＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．详解答案一、选择题1．解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.答案：A2．解析：∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴>2，∴m2＋n2<4，∴＋<＋＝1－m2<1，∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为2个．答案：B3．解析：如图所示设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，则|OC7\n|＝，因tan∠COx＝2，∴sin∠COx＝，cos∠COx＝，则C的坐标为(，)，代入椭圆方程得＋＝1，∵5＝a2－b2，∴b2＝.答案：C4．解析：由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．设M(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3①.又因为点M在椭圆上，故＋y2＝1，即y2＝1－②.将②代入①，得x2＝2，解得x＝±.故点M到y轴的距离为.答案：B5．解析：设点D(0，b),则＝(－c，－b)，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，由3＝＋2得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝.答案：D6．解析：A选项中，当k＝－1时，两直线关于y轴对称，两直线被椭圆E截得的弦长相等；B选项中，当k＝1时，两直线平行，两直线被椭圆E截得的弦长相等；C选项中，当k＝1时，两直线关于y轴对称，两直线被椭圆E截得的弦长相等．答案：D二、填空题7．解析：∵∠BAO＋∠BFO＝90°，∴∠BAO＝∠FBO.∴＝.即OB2＝OA·OF，∴b2＝ac.∴a2－c2－ac＝0.∴e2＋e－1＝0.∴e＝＝.又∵0<e<1，7\n∴e＝.答案：8．解析：由椭圆定义知|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2×5－|PF2|，而|PM|－|PF2|≤|MF2|＝5，所以|PM|＋|PF1|≤2×5＋5＝15.答案：159．解析：根据题意设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)．F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－，0)、(，0)，可得＝(m＋，n)＝(c－，d)．∵＝5，∴c＝，d＝.∵点A、B都在椭圆上，∴＋n2＝1，＋()2＝1.解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)三、解答题10．解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，由e＝＝得＝，即1－＝，∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝，x2＝，∴AB的中点坐标＝＝，＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为(，－)．7\n11．解：由题设知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，所以线段MN中点的坐标为(－1，－)．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k＝＝.(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得＋＝1，解得x＝±，因此P(，)，A(－，－)．于是C(，0)，直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.因此，d＝＝.(3)证明：法一：将直线PA的方程y＝kx代入＋＝1，解得x＝±记μ＝，则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)．于是C(μ，0)．故直线AB的斜率为＝，其方程为y＝(x－μ),代入椭圆方程并由μ＝得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，解得x＝或x＝－μ.因此B(，)．于是直线PB的斜率k1＝＝＝－.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.法二：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2＝＝＝.从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1＝＋1＝＝＝0.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.12．解：(1)由已知得a＝2，b＝1，7\n所以c＝＝.所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，离心率为e＝＝.(2)由题意知，|m|≥1.当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为(1，)，(1，－)，此时|AB|＝.当m＝－1时，同理可得|AB|＝.当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，即m2k2＝k2＋1.所以|AB|＝＝＝＝.由于当m＝±1时，|AB|＝，所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB|＝＝≤2，且当m＝±时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.7
