第八章第九节圆锥曲线的综合问题一、选择题1．设A、B∈R，A≠B，且A·B≠0，则方程Bx－y＋A＝0和方程Ax2－By2＝AB在同一坐标系下的图象大致是( )2．直线y＝x＋1截抛物线y2＝2px所得弦长为2，此时抛物线方程为( )A．y2＝2x B．y2＝6xC．y2＝－2x或y2＝6xD．以上都不对3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1交于不同两点A、B，则|AB|的最大值为( )A．2B.C.D.4．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则||为( )A.B.C.pD.p5．设离心率为e的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )A．k2－e2>1B．k2－e2<1C．e2－k2>1D．e2－k2<16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为( )A.B.7\nC.D.二、填空题7．若y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144相切，则实数m的值等于________．8．已知直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1、P2两点，线段P1、P2的中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于________．9．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p＝________.三、解答题10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点F(－2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．11．已知拋物线C1：x2＝y，圆C2：x2＋(y－4)2＝1的圆心为点M.(1)求点M到拋物线C1的准线的距离；(2)已知点P是拋物线C1上一点(异于原点)．过点P作圆C2的两条切线，交拋物线C1于A，B两点．若过M，P两点的直线l垂直于直线AB，求直线l的方程．12.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点M(1，)，其离心率为.7\n(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y＝kx＋m(|k|≤)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边做平行四边形OAPB，顶点P恰好在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．详解答案一、选择题1．解析：方程Ax2－By2＝AB可变为－＝1.当AB>0时，方程－＝1.表示双曲线，直线Bx－y＋A＝0交x轴于(－，0)，即－<0，故排除C、D选项；当AB<0时，只有B>0，A<0，方程－＝1表示椭圆，直线交x轴于(－，0)，而－>0，故排除A.答案：B2．解析：由得x2＋(2－2p)x＋1＝0.x1＋x2＝2p－2，x1x2＝1.∴2＝·＝·.解得p＝－1或p＝3，∴抛物线方程为y2＝－2x或y2＝6x.答案：C3．解析：设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0，即t2<5.弦长|AB|＝·≤.答案：C4．解析：如图，过A作AD⊥x轴于D，令|FD|＝m，7\n则|FA|＝2m，|AD|＝m，由抛物线定义知|FA|＝|AB|，即p＋m＝2m，∴m＝p.∴||＝＝p.答案：B5．解析：由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足－<k<，即k2<＝＝e2－1.答案：C6．解析：设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)则k1＝，k2＝.又∵M、N、P都在双曲线－＝1上，∴∴b2(x2－x)＝a2(y2－y)．∴＝.∴＝|k2|，即|k1|·|k2|＝.又∵|k1|＋|k2|≥2＝.∴＝1，即4b2＝a2∴4(c2－a2)＝a2，即4c2＝5a2∴＝，即e2＝，∴e＝.答案：B二、填空题7．解析：由，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，所以Δ＝－576m2＋14400＝0，解得m＝±5.答案：±58．解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P(，)，7\nk2＝，k1＝，k1k2＝.由，相减得y－y＝－(x－x)．故k1k2＝－.答案：－9．解析：依题意，抛物线的焦点F的坐标为(0，)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y－＝x，代入抛物线方程得，y2－3py＋＝0，故y1＋y2＝3p，|AB|＝y1＋y2＋p＝4p，直角梯形ABCD有一个内角为45°.故|CD|＝|AB|＝×4p＝2p，梯形面积为(|BC|＋|AD|)×|CD|＝×3p×2p＝3p2＝12，解得p＝2.答案：2三、解答题10．解：(1)由题意，得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)设点A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，∴Δ＝96－8m2>0，∴－2<m<2.∴x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴(－)2＋()2＝1，∴m＝±.11．解：(1)由题意可知，拋物线C1的准线方程为：y＝－，所以圆心M(0,4)到准线的距离是.(2)设P(x0，x)，A(x1，x)，B(x2，x)，由题意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2.设过点P的圆C2的切线方程为y－x＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋x.①7\n则＝1，即(x－1)k2＋2x0(4－x)k＋(x－4)2－1＝0.设PA，PB的斜率为k1，k2(k1≠k2)，则k1，k2是上述方程的两根，所以k1＋k2＝，k1k2＝.将①代入y＝x2得x2－kx＋kx0－x＝0，由于x0是此方程的根，故x1＝k1－x0，x2＝k2－x0，所以kAB＝＝x1＋x2＝k1＋k2－2x0＝－2x0，kMP＝.由MP⊥AB，得kAB·kMP＝(－2x0)·()＝－1，解得x＝.即点P的坐标为(±，)，所以直线l的方程为y＝±x＋4.12.解：(1)由已知：e2＝＝①，又点M(1，)在椭圆上，所以＋＝1②，由①②解之，得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)由消去y化简整理得：(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝48(3＋4k2－m2)>0③设A，B，P点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x0，y0)，则x0＝x1＋x2＝－，y0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.由于点P在椭圆C上，所以＋＝1.从而＋＝1，化简得4m2＝3＋4k2，经检验满足③式．又|OP|＝＝＝＝＝.因为0≤|k|≤，得3≤4k2＋3≤4，有≤≤1，故≤|OP|≤.7\n综上，所求|OP|的取值范围是.7
