第九章第五节古典概型一、选择题1．在2022年深圳世界大学生运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )A. B.C.D.2．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.B.C.D.3．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是( )A.B.C.D.4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A. B.C.D.5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是( )A.B.C.D.6．-6-\n一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是( )A.B.C.D.二、填空题7．某大学有包括甲、乙两人在内的5名大学生，自愿参加2022年上海世博会的服务，这5名大学生中3人被分配到城市足迹馆，另2人被分配到沙特馆．如果这样的分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一馆的概率是________．8．甲乙两人一起去游“2022西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．9.在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点．在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量＝＋的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为__________．三、解答题10．已知集合A＝{x|－3<x<1}，B＝.(1)求A∩B，A∪B；(2)在区间(－4,4)上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；(3)设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“b－a∈A∪B”的概率．11．2022年3月11日，日本附近海域发生了9.0级地震，某志愿者协会现派出2名女医生和3名男医生组成一个小组赴日本救援，若从中任选2人前往地震中心救援．(1)求所选2人中恰有一名男医生的概率；(2)求所选2人中至少有一名女医生的概率．-6-\n12.如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止．(1)求甲经过A2到达N处的方法有多少种；(2)求甲、乙两人在A2处相遇的概率；(3)求甲、乙两人相遇的概率．详解答案一、选择题1．解析：从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝.答案：A2．解析：在正六边形中，6个顶点选取4个，共有15种结果．选取的4点能构成矩形只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，故所求概率为＝.答案：D3．解析：P＝·＋·＝＋＝＝.答案：A4．解析：记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”-6-\n，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝＝.答案：A5．解析：要使△ABC有两个解，需满足的条件是，因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是＝.答案：A6．解析：依题意，将这六个不同的水果分别放入这六个格子里，每个格子放入一个，共有A＝720种不同的放法，其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有96种(此类放法进行分步计数：第一步，确定第一行的两个格子的水果放法，共有C·C·C·A＝24种放法；第二步，确定第二行的两个格子的水果放法，有C·C＝4种放法，剩余的两个水果放入第三行的两个格子)，因此所求的概率等于＝.答案：A二、填空题7．解析：依题意得，甲、乙两人被分到同一馆的概率是＝.答案：8．解析：若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人在最后一个小时浏览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率为.答案：9.解析：基本事件的总数是4×4＝16，在＝＋中，当＝＋，＝＋，＝＋，＝＋时，点G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余情况中的点G都在平行四边形外，故所求的概率是1－＝.-6-\n答案：10．解：(1)由已知B＝{x|－2<x<3}，A∩B＝{x|－2<x<1}，A∪B＝{x|－3<x<3}．(2)设事件“x∈A∩B”的概率为P1，这是一个几何概型，则P1＝.(3)因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，所以，基本事件共12个：(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)．设事件E为“b－a∈A∪B”，则事件E中包含9个基本事件，事件E的概率P(E)＝＝.11．解：(1)设事件A：所选2人中恰有一名男医生，则P(A)＝＝＝.故所选2人中恰有一名男医生的概率为.(2)设事件B：所选2人中至少有一名女医生．则P(B)＝1－P()＝1－＝1－＝.即所选2人中至少有一名女医生的概率为.12.解：(1)甲经过A2，可分为两步：第一步，甲从M到A2的方法有C种；第二步，甲从A2到N的方法有C种．所以甲经过A2到达N处的方法有(C)2＝9种．(2)由(1)知，甲经过A2的方法数为9；乙经过A2的方法数也为9.所以甲、乙两人在A2处相遇的方法数为9×9＝81；甲、乙两人在A2处相遇的概率为＝.(3)甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A1、A2、A3、A4处相遇，他们在Ai(i＝1,2,3,4)处相遇的走法有(C)4种方法，所以(C)4＋(C)4＋(C)4＋(C)4＝164，故甲、乙两人相遇的概率为＝.-6-\n-6-
