第二章第六节幂函数与二次函数一、选择题1．下列函数中，其定义域、值域不同的是( )A．y＝x B．y＝x－1C．y＝xD．y＝x22．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )3．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c且f(1＋x)＝f(－x)，则下列不等式中成立的是( )A．f(－2)＜f(0)＜f(2)B．f(0)＜f(－2)＜f(2)C．f(0)＜f(2)＜f(－2)D．f(2)＜f(0)＜f(－2)4．二次函数f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为( )A．－1B．1C．－2D．25．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f()的值为( )A．－3B．－C．3D.6．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为( )A．(－，＋∞)B．(1，＋∞)C．[－，1]D．(－∞，－]二、填空题7．已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m的取值范围是________．8．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.9．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是________．三、解答题-5-\n10．已知函数f(x)＝－xm且f(4)＝－，(1)求m的值；(2)求f(x)的单调区间．11．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称．(1)求f(x)和g(x)的解析式；(2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．详解答案一、选择题1．解析：对A，定义域、值域均为[0，＋∞)；对B，定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；对C，定义域、值域均为R；对D，定义域为R，值域为[0，＋∞)．答案：D2．解析：由a>b>c，a＋b＋c＝0知a>0，c<0，因而图象开口向上，又f(0)＝c<0，故D项符合要求．答案：D3．解析：∵f(1＋x)＝f(－x)，-5-\n∴(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝x2－bx＋c.∴x2＋(2＋b)x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c.∴2＋b＝－b，即b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋c，其图象的对称轴为x＝.∴f(0)＜f(2)＜f(－2)．答案：C4．解析：由题意f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4＝x2＋(2－a)x＋5－a为偶函数，所以2－a＝0，a＝2.答案：D5．解析：设f(x)＝xα，则由＝3，得＝3.∴2α＝3，∴f()＝()α＝＝.答案：D6．解析：令f(x)＝x2＋ax－2，由题意，知f(x)图象与x轴在[1,5]上有交点，则 ∴－≤a≤1.答案：C二、填空题7．解析：∵0<0.71.3<0.70＝1,1.30.7>1.30＝1，∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m<(1.30.7)m，∴幂函数y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，故m>0.答案：(0，＋∞)8．解析：由于方程有整数根，因此，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.答案：3或49．解析：设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，由题意知即解得<k<.答案：(，)三、解答题-5-\n10．解析：(1)f(4)＝－4m＝－，∴4m＝4.∴m＝1.故f(x)＝－x.(2)由(1)知，f(x)＝2·x－1－x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为奇函数，又y＝x－1，y＝－x均为减函数，故在(－∞，0)，(0，＋∞)上f(x)均为减函数．∴f(x)的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．11．解析：(1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a>0)．∵f(x)图象的对称轴是x＝－1，∴f(－1)＝－1，即a－2a＝－1，得a＝1.∴f(x)＝x2＋2x.又∵函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x.(2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x.①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；②当λ<－1时，h(x)图象对称轴是x＝，则≥1，又λ<－1，解得λ<－1；③当λ>－1时，同理则需≤－1，又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．12．解：(1)由已知c＝1，f(－1)＝a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2.∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0,1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在x∈(0,1]上恒成立，-5-\n根据单调性可得－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，所以－2≤b≤0.∴b的取值范围为[－2,0]．-5-
