第二章第八节对数与对数函数一、选择题1．若点(a，b)在y＝lgx图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是( )A．(，b) B．(10a,1－b)C．(，b＋1)D．(a2,2b)2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )A.B．2x－2C．D．log2x3．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞a＞b4．函数f(x)＝2|log2x|的图象大致是( )5．函数y＝log2(x2＋1)－log2x的值域是( )A．[0，＋∞)B．(－∞，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)6．若不等式x2－logax<0在(0，)内恒成立，则a的取值范围是( )A．(，1)B．(0，)C．(0,1)D．(，1]二、填空题7．若a>0，＝，则a＝________.8．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a5\n的最小值为________．9．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(7)，b＝f(3)，c＝f()，则a，b，c的大小关系是________．三、解答题10．(1)计算：2(lg)2＋lg·lg5＋－÷；(2)已知lga＋lgb＝2lg(a－2b)，求的值．11．已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．12．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．详解答案5\n一、选择题1．解析：当x＝a2时，y＝lga2＝2lga＝2b，所以点(a2,2b)在函数y＝lgx的图象上．答案：D2．解析：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x.答案：D3．解析：a＝log23.6＝log43.62＝log412.96，y＝log4x(x＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96，∴a＞c＞b.答案：B4．解析：f(x)＝即f(x)＝其图象为C.答案：C5．解析：y＝log2(x2＋1)－log2x＝log2＝log2(x＋)≥log22＝1(x>0)．答案：C6．解析：∵不等式x2－logax<0在(0，)内恒成立，∴0<a<1，且<loga.∴∴<a<1.答案：A二、填空题7．解析：∵＝，∴＝＝2，∴a＝2，∴a＝3.答案：38．解析：如图所示为f(x)＝|log3x|的图象，当f(x)＝0时，x＝1，当f(x)＝1时，x＝3或，故要使值域为[0,1]，则定义域为[，3]或[，1]或[1,3]，所以b－a的最小值为.5\n答案：9．解析：3＝－3＝－9，＝＝＝>＝2>9，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f()<f(3)<f(7)，即c<b<a.答案：c<b<a三、解答题10．解：(1)原式＝lg(2lg＋lg5)＋－＝lg(lg2＋lg5)＋1－lg－÷＝lg＋1－lg－1＝0(2)∵lga＋lgb＝2lg(a－2b)，∴lgab＝lg(a－2b)2.∴ab＝(a－2b)2，a2＋4b2－5ab＝0.()2－5·＋4＝0，解之得＝1或＝4.∵a>0，b>0，若＝1，则a－2b<0，∴＝1舍去．∴＝4.11．解：f(x)＝logax，则y＝|f(x)|的图象如右图．由图示，要使x∈[，2]时恒有|f(x)|≤1，只需|f()|≤1，即－1≤loga＜1，即logaa－1≤loga≤logaa.当a>1时，得a－1≤≤a，即a≥3；5\n当0<a<1时得a－1≥≥a，得0＜a≤.综上所述，a的取值范围是(0，]∪[3，＋∞)．12．解：(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，函数定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3.则g(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有解得a＝.故存在实数a＝使f(x)的最小值等于0.5
