第二章第一节函数及其表示一、选择题1．已知a、b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于( )A．－1 B．0C．1D．±12．已知函数f(x)对任意的x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(1)＝( )A．－2B．1C．0.5D．23．已知f：x→－sinx是集合A(A⊆[0,2π])到集合B＝{0，}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有( )A．4个B．5个C．6个D．7个4．定义x⊗y＝x3－y，则h⊗(h⊗h)＝( )A．－hB．0C．hD．h35．已知函数ƒ(x)＝若ƒ(a)＋ƒ(1)＝0，则实数a的值等于( )A．－3B．－1C．1D．36．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝( )A．x－1B．x＋1C．2x＋1D．3x＋3二、填空题7．已知f(x－)＝x2＋，则函数f(3)＝________.8．设f(x)＝则f(f(－2))＝________.9．设函数ƒ(x)＝x3cosx＋1.若ƒ(a)＝11，则ƒ(－a)＝____.三、解答题10．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.-4-\n(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)>2x＋5.11．函数f(x)对一切实数x、y均有f(x＋y)－f(y)＝x(x＋2y＋1)成立，且f(1)＝0，(1)求f(0)的值；(2)试确定函数f(x)的解析式．12．我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5吨时，每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费．详解答案一、选择题1．解析：a＝1，b＝0，∴a＋b＝1.答案：C2．解析：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝1，则f(2)＝f(1)＋f(1)＝4，∴f(1)＝2.答案：D3．解析：∵A⊆[0,2π]，由－sinx＝0得x＝0，π，2π；由－sinx＝得x＝，，∴A中最多有5个元素．-4-\n答案：B4．解析：h⊗h＝h3－h，∴h⊗(h⊗h)＝h⊗(h3－h)＝h3－(h3－h)＝h.答案：C5．解析：法一：当a＞0时，由ƒ(a)＋ƒ(1)＝0得2a＋2＝0，可见不存在实数a满足条件，当a＜0时，由ƒ(a)＋ƒ(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件．法二：由指数函数的性质可知：2x＞0，又因为ƒ(1)＝2，所以a＜0，所以ƒ(a)＝a＋1，即a＋1＋2＝0，解得：a＝－3.法三：验证法，把a＝－3代入ƒ(a)＝a＋1＝－2，又因为ƒ(1)＝2，所以ƒ(a)＋ƒ(1)＝0，满足条件．答案：A6．解析：在2f(x)－f(－x)＝3x＋1①将①中x换为－x，则有2f(－x)－f(x)＝－3x＋1②①×2＋②得3f(x)＝3x＋3，∴f(x)＝x＋1.答案：B二、填空题7．解析：∵f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，∴f(x)＝x2＋2，∴f(3)＝32＋2＝11.答案：118．解析：因为f(x)＝又－2<0，∴f(－2)＝10－2,10－2>0，f(10－2)＝lg10－2＝－2.答案：－29．解析：观察可知，y＝x3cosx为奇函数，且ƒ(a)＝a3cosa＋1＝11，∴a3cosa＝10，则ƒ(－a)＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9.答案：－9三、解答题10．解：(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.-4-\n∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0，解得x>4或x<－1.故原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．11．解：(1)令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2.又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y＝0，则f(x)－f(0)＝x(x＋1)，由(1)知，f(1)＝x(x＋1)＋f(0)＝x(x＋1)－2＝x2＋x－2.12．解：设y表示本季度应缴纳的水费(元)，当0<x≤5时，y＝1.3x；当5<x≤6时，应将x分成两部分：5与(x－5)分别计算，第一部分为基本消费1.3×5，第二部分由基本消费与加价消费组成，即1．3×(x－5)＋1.3(x－5)×200%＝3.9x－19.5，此时y＝1.3×5＋3.9x－19.5＝3.9x－13，当6<x≤7时，同理y＝6.5x－28.6综上可知：y＝.-4-
