第二章第十一节变化率与导数、导数的计算一、选择题1.已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3C．9D．153．曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为( )A．－B.C．－D.4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )A．1B.C．－D．－15．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( )A．1B.C.D.6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝( )A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克二、填空题-5-\n7．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.8．已知函数f(x)＝－x3＋ax－4(a∈R)，若函数y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线的倾斜角为，则a＝________.9．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝；11．已知曲线f(x)＝e2x－1在点A处的切线和曲线g(x)＝e－2x－1在点B处切线互相垂直，O为坐标原点且·＝0，求△AOB的面积．12．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)．(1)求过点P的切线方程；(2)求证：与曲线S切于点(x0，y0)(x0≠0)的切线与S至少有两个交点．详解答案一、选择题1.解析：由导数的几何意义可知，f′(2)、f′(3)分别表示曲线在x＝2，x-5-\n＝3处的切线的斜率，而f(3)－f(2)表示直线AB的斜率，即kAB＝f(3)－f(2)．由图形可知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．答案：B2．解析：y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.答案：C3．解析：y′＝＝，把x＝代入得导数值为.答案：B4．解析：∵y′＝2ax，∴y′|x＝1＝2a.即y＝ax2在点(1，a)处的切线斜率为2a.直线2x－y－6＝0的斜率为2.∵这两直线平行，∴它们的斜率相等，即2a＝2，解得a＝1.答案：A5．解析：设P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0－.由2x0－＝1，得x0＝1或x0＝－(舍)．∴P点坐标(1,1)．∴P到直线y＝x－2距离为d＝＝.答案：B6．解析：因为M′(t)＝－M02·ln2，所以M′(30)＝－M0ln2＝－10ln2.所以M0＝600.所以M(t)＝600×2.所以M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．答案：D二、填空题7．解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2.∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.答案：－48．解析：f′(x)＝－3x2＋a，y＝f(x)的图象在点P处的切线的倾斜角为，即f′(1)＝tan，∴－3＋a＝1，-5-\n解得a＝4.答案：49．解析：曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，即f′(x)＝0有解．又∵f′(x)＝5ax4＋，∴方程5ax4＋＝0有解．∴5ax5＝－1有解．又∵x>0，∴a<0.故实数a的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)三、解答题10．解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)法一：y′＝＝＝.法二：∵y＝＝1＋，∴y′＝1′＋()′，即y′＝.11．解：f′(x)＝e2x－1·(2x－1)′＝e2x－1，g′(x)＝e－2x－1·(－2x－1)′＝－e－2x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴＝y1，y2＝，f′(x1)＝，g′(x2)＝，∴x1－x2＝1，x1x2＝－，∴x1＝，x2＝－，-5-\n∴y1＝，y2＝，∴OA＝，OB＝，即A(，)，B(－，)．∵·＝0，∴⊥，∴S△AOB＝××＝.12．解：(1)设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0－x.又f′(x)＝3－3x2，∴切线斜率k＝＝3－3x.即3x0－x－2＝(x0－2)(3－3x)．∴(x0－1)[(x0－1)2－3]＝0.解得x0＝1或x0＝1±.相应的斜率k＝0或k＝－9±6，∴切线方程为y＝2或y＝(－9±6)(x－2)＋2.(2)证明：与曲线S切于点(x0，y0)的切线方程可设为y－y0＝(3－3x)(x－x0)，与曲线S的方程联立，消去y，得3x－x3－y0＝3(1－x)·(x－x0)，即3x－x3－(3x0－x)＝3(1－x)(x－x0)．即(x－x0)2(x＋2x0)＝0，则x＝x0或x＝－2x0，因此，与曲线S切于点(x0，y0)(x0≠0)的切线，与S至少有两个交点．-5-
