第二章第十二节导数的应用(一)一、选择题1．函数f(x)＝x＋elnx的单调递增区间为( )A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，0)和(0，＋∞)D．R2．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则使得函数f(x＋1)单调递减的一个充分不必要条件为x∈( )A．(0,1)B．[0,2]C．(1,3)D．(2,4)3．函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是( )A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点C．x＝－1不是函数f(x)的极值点D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点4．已知函数f(x)＝4x＋3sinx，x∈(－1,1)，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0成立，则实数a的取值范围为( )A．(0,1)B．(1，)C．(－2，－)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)5．若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．[1，)C．[1,2)D．[，2)6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )A．2B．3C．6D．9二、填空题7．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．8.如图是y＝f(x)的导函数的图象，现有四种说法：(1)f(x)在(－3,1)上是增函数；(2)x＝－1是f(x)的极小值点；-5-\n(3)f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数；(4)x＝2是f(x)的极小值点；以上正确的序号为________．9．若函数f(x)＝x3－px2＋2m2－m＋1在区间(－2,0)内单调递减，在区间(－∞，－2)及(0，＋∞)内单调递增，则p的取值集合是________．三、解答题10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在点x0处取得极小值－5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(0,0)，(2,0)．(1)求a，b的值；(2)求x0及函数f(x)的表达式．11．设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a>0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．注：e为自然对数的底数．12．设f(x)＝ax3＋bx＋c为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，极大值和极小值，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值与最小值．-5-\n详解答案一、选择题1．解析：∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1＋>0.故f(x)的递增区间为(0，＋∞)．答案：A2．解析：令f′(x)＝x2－4x＋3<0，得1<x<3，即函数f(x)的单调递减区间是[1,3]，则使得函数f(x＋1)的单调递减区间是[0,2]，结合题意及选项知．答案：A3．解析：由题意，得x>－1，f′(x)>0或x<－1，f′(x)<0，但函数f(x)在x＝－1处未必连续，即x＝－1不一定是函数f(x)的极值点．答案：D4．解析：∵f(x)＝4x＋3sinx，x∈(－1,1)，∴f′(x)＝4＋3cosx>0在x∈(－1,1)上恒成立．∴f(x)在(－1,1)上是增函数．又f(x)＝4x＋3sinx，x∈(－1,1)是奇函数，∴不等式f(1－a)＋f(1－a2)<0可化为f(1－a)<f(a2－1)，从而可知，a需满足，解得1<a<.答案：B5．解析：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－，由f′(x)＝0，得x＝.据题意得，解得1≤k＜.答案：B6．解析：函数的导数为f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f(x)在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，所以ab≤()2＝()2＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号．答案：D二、填空题7．解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，显然当x＝2时f(x-5-\n)取极小值．答案：28.解析：当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，即f(x)在(－3，－1)上是减函数，故(1)错误；对(2)，当x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，故x＝－1是f(x)的极小值点，故(2)正确，同理可知(4)错误；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，故(3)正确．答案：(2)(3)9．解析：由题意知f′(－2)＝0，f′(0)＝0，而f′(x)＝3x2－2px，则有12＋4p＝0，即p＝－3.故填{－3}．答案：{－3}三、解答题10．解：(1)由题设可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∵f′(x)的图象过点(0,0)，(2,0)，∴解得a＝－3，b＝0.(2)由f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0，∴在(－∞，0)上f′(x)>0，在(0,2)上f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，因此f(x)在x＝2处取得极小值，所以x0＝2，由f(2)＝－5，得c＝－1，∴f(x)＝x3－3x2－1.11．解：(1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x>0，所以f′(x)＝－2x＋a＝－.由于a>0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．(2)由题意得：f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，只要解得a＝e.12．解：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c.∴c＝0.∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12.又直线x－6y－7＝0的斜率为，-5-\n因此f′(1)＝3a＋b＝－6，故a＝2，b＝－12，c＝0.(2)f(x)＝2x3－12x，f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，列表如下X(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大极小所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．f(x)的极大值为f(－)＝8，极小值为f()＝－8又f(－1)＝10，f(3)＝18，所以当x＝时，f(x)取得最小值为－8，当x＝3时f(x)取得最大值18.-5-
