第九章第三节二项式定理一、选择题1．在(－)6的二项展开式中，x2的系数为( )A．－ B.C．－D.2．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )A．－20B．－15C．15D．203．在二项式(x2＋x＋1)(x－1)5的展开式中，含x4项的系数是( )A．－25B．－5C．5D．254．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A．－7B．－28C．7D．285．在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为( )A．6B．9C．12D．186.若(1－2x)2022＝a0＋a1x＋…＋a2022x2022(x∈R)，则＋＋…＋的值为( )A．2B．0C．－1D．－2二、填空题7．(1－)4(1＋)展开式中x的系数是________．8.若(x＋1)4(x＋4)8＝a0(x＋3)12＋a1(x＋3)11＋a2(x＋3)10＋…＋a11(x＋3)＋a12，则log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝________.9．在(3－2)11的展开式中任取一项，则所取项为有理项的概率P＝________.三、解答题-6-\n10．已知a为如图所示的程序框图中输出的结果，求二项式(a－)6的展开式中含x2项的系数．11．已知(－)n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x的项．12．已知(＋2x)n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．-6-\n详解答案一、选择题1．解析：在(－)6的展开式中，第r＋1项为Tr＋1＝C()6－r(－)r＝C()6－rx3－r(－2)r，当r＝1时，为含x2的项，其系数是C()5(－2)＝－.答案：C2．解析：Tr＋1＝C(22x)6－r(－2－x)r＝(－1)rC(2x)12－3r，r＝4时，12－3r＝0，故第5项是常数项，T5＝(－1)4C＝15.答案：C3．解析：因为(x－1)5中含x4，x3，x2项分别为－Cx4，Cx3，－Cx2，所以含x4项系数为－C＋C－C＝－5.答案：B4．解析：依题意，＋1＝5，∴n＝8.二项式为8，易得常数项为C26＝7.答案：C5．解析：A＝(1＋3)n＝4n，B＝2n.A＋B＝4n＋2n＝72，∴n＝3.∴(＋)n＝(＋)3.Tr＋1＝C()3－r()r＝3rCx·x－r＝3rCx∴当r＝1时Tr＋1为常数项．∴常数项为3C＝9.-6-\n答案：B6.解析：观察所求数列和的特点，令x＝可得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－a0，再令x＝0可得a0＝1，因此＋＋…＋＝－1.答案：C二、填空题7．解析：(1－)4(1＋)＝(1－x)(1－)3设(1－)3的二项展开式的常数项为a，一次项的系数为b，又Tr＋1＝C(－)r＝(－1)rCx，∴a＝T1＝1，b＝T3＝(－1)2C＝3.∴(1－)4(1＋)展开式中x的系数为－1＋3＝2.答案：2解析：令x＝－2，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12＝28，令x＝－4，则a0－a1＋a2－…－a11＋a12＝0，相减得2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝28，所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＝27，所以log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝log227＝7.答案：79．解析：因为二项展开式中共有12项，其通项公式Tr＋1＝C·(3)11－r·(－2)r＝C·311－r·(－2)r·x，r＝0,1，…，11，其中只有当r＝3或r＝9时，才是有理项，故P＝＝.答案：三、解答题10．解：记f(x)＝，则有f(2)＝＝－1，f[f(2)]＝f(－1)＝，f()＝＝2，依题意得题中所给的程序图中输出的结果是数列2，－1，，2，－1，，…(注：该数列的项以3为周期重复出现)的第2011项，由于2011＝3×670＋1，因此a＝2，二项式(a－-6-\n)6，即(2－)6的展开式的通项是C·(2)6－r·(－)r＝C·26－r·(－1)r·x3－r.令3－r＝2得r＝1.所以，二项式(a－)6的展开式中含x2项的系数是C·26－1·(－1)1＝－192.11．解：由题意知，第五项系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则有＝，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项公式Tr＋1＝C·()8－r·(－)r＝C·(－2)r·x－2r，(r＝0,1，…，8)，令－2r＝，则r＝1，故展开式中含x的项为T2＝－16x.12．解：(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0，∴n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，∴T4的系数＝C()423＝，T5的系数＝C()324＝70，当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数＝C()727＝3432.(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，∵(＋2x)12＝()12(1＋4x)12，∴∴9.4<k<10.4，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项为T11，-6-\nT11＝C·()2·210·x10＝16896x10.-6-
