第三章第七节正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c＝( )A．5 B．10C.D．52．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶，则此三角形的最大内角的度数是( )A．60°B．90°C．120°D．135°3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝( )A．－B.C．－1D．14．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )A.B．8－4C．1D.5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝( )A．30°B．60°C．120°D．150°6．在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝2，AC＝1，∠BAD＝30°，则AD的长度为( )A.B.C.D．2二、填空题7．在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sinA＝，则a＝________.8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，S是△ABC的面积，-5-\n且4S＝a2＋b2－c2，则角C＝________.9．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__________．三、解答题10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.(1)求的值；(2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.12．已知向量m＝(sinA，)与n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是△ABC的内角．(1)求角A的大小；(2)若BC＝2，求△ABC的面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．详解答案：-5-\n1．解析：由于A＋B＋C＝180°，所以C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理，得c＝a＝10×＝.答案：C2．解析：∵在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，∴a∶b∶c＝1∶1∶，设a＝b＝k，c＝k(k>0)，最大边为c，其所对的角C为最大角，则cosC＝＝－，∴C＝120°.答案：C3．解析：∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin2B，∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.答案：D4．解析：由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4. ①由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab， ②将②代入①得ab＋2ab＝4，即ab＝.答案：A5．解析：由sinC＝2sinB可得c＝2b，由余弦定理得cosA＝＝＝，于是A＝30°.答案：A6．解析：延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM、MC，则四边形ABMC是平行四边形．在△ABM中，由余弦定理得BM2＝AB2＋AM2－2AB·AM·cos∠BAM，即12＝22＋AM2－2·2·AM·cos30°，解得AM＝，所以AD＝.答案：B7．解析：根据正弦定理＝，得a＝＝.答案：8．解析：由4S＝a2＋b2－c2，得2S＝.-5-\n所以absinC＝，sinC＝cosC，所以tanC＝1.C＝.答案：9．解析：不妨设角A＝120°，c<b，则a＝b＋4，c＝b－4，于是cos120°＝＝－，解得b＝10，所以S＝bcsin120°＝15.答案：1510．解：(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.故cosB＝，因此B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.故a＝b×＝＝1＋.c＝b×＝2×＝.11．解：(1)由正弦定理得，设＝＝＝k，则＝＝，＝.即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此＝2.(2)由＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×.-5-\n解得a＝1，从而c＝2.又因为cosB＝，且0<B<π，所以sinB＝，因此S＝acsinB＝×1×2×＝.12．解：(1)因为m∥n，所以sinA·(sinA＋cosA)－＝0，所以＋sin2A－＝0，即sin2A－cos2A＝1，即sin(2A－)＝1.因为A∈(0，π)，以2A－∈(－，)．故2A－＝，即A＝.(2)由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc，又S△ABC＝bcsinA＝bc，而b2＋c2≥2bc⇒bc＋4≥2bc⇒bc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝，当△ABC的面积最大时，b＝c，又A＝，故此时△ABC为等边三角形．-5-
