第三章第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( )A. B.C.D．－12．若α∈(0，)，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于( )A.B.C.D.3．已知α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值是( )A．－1B．1C．2D．44．若＝－，则sinα＋cosα的值为( )A．－B．－C.D.5．已知tanα＝，tan(α－β)＝，则tanβ＝( )A.B．－C．－D.6．的值为( )A．－B．－C.D.二、填空题-6-\n7．已知sinα＝＋cosα，且α∈(0，)，则的值为____．8．已知tan(x＋)＝2，则的值为________．9．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cosα＝________.三、解答题10．已知－<x<0，sinx＋cosx＝.(1)求sinx－cosx的值；(2)求的值．11．已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．12．已知函数f(x)＝2sin(x－)，x∈R.(1)求f()的值；(2)设α，β∈[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．-6-\n详解答案：1．解析：∵cos2θ＝，∴sin22θ＝.∴sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－(sin2θ)2＝.答案：B2．解析：因为sin2α＋cos2α＝sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α，∴cos2α＝，sin2α＝1－cos2α＝，∵α∈(0，)，∴cosα＝，sinα＝，tanα＝＝.答案：D3．解析：∵α＋β＝，tan(α＋β)＝＝1，∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2.答案：C4．解析：∵(sinα－cosα)＝－(cos2α－sin2α)∴sinα＋cosα＝.答案：C5．解析：tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝－.答案：C-6-\n6．解析：＝＝＝＝.答案：C7．解析：依题意得sinα－cosα＝，又(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，即(sinα＋cosα)2＋()2＝2，故(sinα＋cosα)2＝；又α∈(0，)，因此有sinα＋cosα＝，所以＝＝－(sinα＋cosα)＝－.答案：－8．解析：因为tan(x＋)＝2，所以tanx＝，tan2x＝＝＝，即＝.答案：9．解析：由题意知，cosβ＝－，sin(α＋β)＝，又∵α，β∈(0，π)，∴sinβ＝，cos(α＋β)＝－.∴cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－×(－)＋×＝＋＝.答案：-6-\n10．解：(1)由sinx＋cosx＝两边平方得1＋2sinxcosx＝，所以2sinxcosx＝－.∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝.又∵－<x<0，∴sinx<0，cosx>0，∴sinx－cosx<0.故sinx－cosx＝－.(2)＝＝cosx(2－cosx－sinx)＝(－)×(2－)＝－.11．解：(1)由cosβ＝，β∈(0，π)，得sinβ＝，即tanβ＝2.∴tan(α＋β)＝＝＝1.(2)∵tanα＝－，α∈(0，π)，∴sinα＝，cosα＝－.∴f(x)＝－sinx－cosx＋cosx－sinx＝－sinx.∴f(x)的最大值为.12．解：(1)f()＝2sin(×π－)＝2sin＝.(2)∵＝f(3α＋)-6-\n＝2sin＝2sinα，＝f(3β＋2π)＝2sin[×(3β＋2π)－]＝2sin(β＋)＝2cosβ，∴sinα＝，cosβ＝，又∵α，β∈[0，]，∴cosα＝＝＝，sinβ＝＝＝，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.-6-
