课时提升作业(十九)两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2022·重庆模拟)计算sin20°cos70°-cos160°sin70°= ( )A.0 B.-sin50° C.1 D.-1【解析】选C.原式=sin20°cos70°-cos(180°-20°)sin70°=sin20°cos70°+cos20°sin70°=sin(20°+70°)=sin90°=1.【加固训练】(2022·成都模拟)cos38°sin98°-cos52°sin188°的值为 .【解析】cos38°sin98°-cos52°sin188°=cos38°cos8°+sin38°sin8°=cos30°=.答案:2.计算1-2cos2= ( )A.B.-C.D.-【解析】选D.原式=-=-cos=-.3.(2022·张家口模拟)计算:tan15°+=( )A.B.2C.4D.2【解析】选C.tan15°+4.(2022·成都模拟)已知锐角α满足cos2α=cos(-α),则sin2α等于( )-8-\n【解析】选A.由cos2α=cos(-α),得(cosα-sinα)(cosα+sinα)=(cosα+sinα),由α为锐角知cosα+sinα≠0.所以cosα-sinα=,平方得1-sin2α=.所以sin2α=.【一题多解】本题还可如下解答:因为α是锐角,所以0<2α<π,-<-α<.又因为cos2α=cos(-α),所以2α=-α,即α=.故sin2α=sin.5.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上有一点A(3,-4),则sin(2θ+)的值为( )A.B.-C.-1D.1【解题提示】根据题意求得sinθ和cosθ的值,进而利用诱导公式和二倍角公式求得答案.【解析】选B.依题意知sinθ=-,cosθ=,所以sin(2θ+)=cos2θ=cos2θ-sin2θ=,故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2022·南宁模拟)已知α为钝角,且cos=-,则sin2α= .【解析】因为cos=-sinα=-,所以sinα=,又因为α为钝角,所以cosα=-=-,所以sin2α=2sinαcosα=2××=-.-8-\n答案:-7.(2022·兰州模拟)计算:= .【解题提示】拆角,50°=30°+20°,利用两角和的正弦公式展开合并计算.【解析】原式====1.答案:1【加固训练】(2022·武汉模拟)计算:= .【解析】原式====sin30°=.答案:8.(2022·汉中模拟)设θ为第二象限角,若tanθ+=,则sinθ+cosθ= .【解题提示】先由tan=,求tanθ的值,再利用同角的三角函数关系式及θ的范围分别求sinθ,cosθ的值.【解析】因为tan=,所以tanθ=tan===-,即sinθ=-cosθ,又因为sin2θ+cos2θ=1,所以cos2θ+cos2θ=1,cos2θ=,因为θ为第二象限角,所以cosθ=,sinθ=-cosθ=,sinθ+cosθ=-+-8-\n=-.答案:-【加固训练】已知tan=2,则sin2α+tan2α= .【解析】因为tan=2,所以tanα=tan===.所以sin2α====,tan2α===,故sin2α+tan2α=+=.答案:三、解答题9.(10分)若sin=,cos=,且0<α<<β<π,求cos(α+β)的值.【解析】因为0<α<<β<π,所以π<π+α<π,-<-β<0.又sin=,cos=,所以cos=-,sin=-,所以cos(α+β)=sin=sin-8-\n=sincos-cossin-β=-.【方法技巧】1.给值求值问题的关键解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.(1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差.(2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系.2.拼角、凑角的技巧用已知角表示未知角:2α=(α+β)+(α-β);2β=(α+β)-(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;α=+,β=-;=-等.【加固训练】已知cosx+cosy=,sinx+siny=.(1)求cos(x-y)的值.(2)求cos(2x-2y)的值.【解题提示】(1)把已知两式平方相加求cos(x-y)的值.(2)用二倍角的余弦公式求解.【解析】(1)因为cosx+cosy=,sinx+siny=,所以(cosx+cosy)2+(sinx+siny)2=+,即2+2cosxcosy+2sinxsiny=,所以2cos(x-y)=-,即cos(x-y)=-.(2)由(1)得cos(2x-2y)=2cos2(x-y)-1=2×-1=.-8-\n(20分钟 40分)1.(5分)(2022·新课标全国卷Ⅱ)已知sin2α=,则cos2(α+)=( )【解题提示】利用“降幂公式”将cos2(α+)化简,建立与sin2α的关系,可得结果.【解析】选A.因为2.(5分)(2022·宝鸡模拟)已知cos(+θ)cos(-θ)=,则sin4θ+cos4θ的值等于( )【解题提示】先化简已知条件,再把要求的式子变形,代入求值.【解析】选C.因为cos(+θ)cos(-θ)=(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)=(cos2θ-sin2θ)=cos2θ=.所以cos2θ=,sin4θ+cos4θ=3.(5分)(2022·兰州模拟)设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为 .【解题提示】解答本题的关键是角的变化,即把角2α+转化为(2α+)-.【解析】因为cos(α+)=,-8-\n所以α+∈(0,),所以sin(α+)=,所以sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=2××=,cos(2α+)=2cos2(α+)-1=,所以sin(2α+)=sin[(2α+)-]=sin(2α+)cos-cos(2α+)sin=.答案:4.(12分)(2022·江西高考改编)已知函数f(x)=-(-1+2cos2x)sin2x,若,α∈(,π),求sin(α+)的值.【解析】f(x)=-(-1+2cos2x)sin2x=-cos2xsin2x=-sin4x,因为,所以=-sinα=-,故sinα=,又α∈(,π),所以cosα=-,sin(α+)=×+(-×)=.5.(13分)(能力挑战题)已知sinα-cosα=,α∈[0,π].(1)求sin2α的值.(2)求cos2α的值.【解析】(1)因为sinα-cosα=,所以(sinα-cosα)2=,1-2sinαcosα=,2sinαcosα=,即sin2α=.(2)因为α∈[0,π],由(1)知,sin2α=2sinαcosα=>0,所以α∈,-8-\n又因为sinα-cosα=>0,所以α∈,故2α∈,所以cos2α=-=-.-8-
