第六章第六节直接证明与间接证明一、选择题1．若函数F(x)＝f(x)＋f(－x)与G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为零，则( )A．F(x)、G(x)均为偶函数B．F(x)为奇函数，G(x)为偶函数C．F(x)与G(x)均为奇函数D．F(x)为偶函数，G(x)为奇函数2．设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是( )A．(a*b)*a＝aB．[a*(b*a)]*(a*b)＝aC．b*(b*b)＝bD．(a*b)*[b*(a*b)]＝b3．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是( )A．f(2.5)<f(1)<f(3.5)B．f(2.5)>f(1)>f(3.5)C．f(3.5)>f(2.5)>f(1)D．f(1)>f(3.5)>f(2.5)4．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形5．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( )A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列6．已知△ABC的顶点A(x，y)，B(－1,0)，C(1,0)，若△ABC满足的条件分别是：(1)△ABC-5-\n的周长是6；(2)∠A＝90°；(3)kAB·kAC＝1；(4)kAB－kAC＝－2.下面给出了点A的轨迹方程：(a)x2＋y2＝1(y≠0)；(b)x2－y2＝1(y≠0)；(c)＋＝1(y≠0)；(d)y＝x2－1(y≠0)．其中与条件(1)(2)(3)(4)分别对应的轨迹方程的代码依次是( )A．(a)(b)(c)(d)B．(c)(a)(d)(b)C．(d)(a)(b)(c)D．(c)(a)(b)(d)二、填空题7．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<.那么他的反设应该是________．8．设Sn＝＋＋＋…＋(n∈N*)，且Sn＋1·Sn＋2＝，则n的值是________．9．定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：(1)2] .三、解答题10．在锐角三角形中，求证：sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.11．用反证法证明：若a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，则a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.12．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2<b.-5-\n详解答案一、选择题1．解析：∵f(x)的定义域为R，∴F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)的定义域也为R.又F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－G(x)，∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数．答案：D2．解析：此题只有一个已知条件：a*(b*a)＝b.B中a*(b*a)＝b原式变为b*(a*b)＝a，成立．C中相当于已知条件中a替换为b，明显成立．D中，b*(a*b)＝a，原式变为(a*b)*a＝b成立．答案：A3．解析：因为函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，所以x＝2是对称轴，在(2,4)上为减函数，由图象知f(2.5)>f(1)>f(3.5)．答案：B4．解析：由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．由，得.那么A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形．答案：D5．解析：由已知条件，可得由②③得代入①，得＋＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差数列．-5-\n答案：B6．解析：由△ABC的周长是6，|BC|＝2，可知点A在以B,C为焦点的椭圆上，y≠0，与(c)相对应；由∠A＝90°，可知点A在以BC为直径的圆x2＋y2＝1上，y≠0；由kAB·kAC＝1，化简得x2－y2＝1(y≠0)；显然(4)与(d)相对应．答案：D二、填空题7．答案：“∃x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|则|f(x1)－f(x2)|≥”8．解析：由＝－得到Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝，Sn＋1·Sn＋2＝·＝＝，解得n＝5.答案：59．解析：由(2n＋2)*2006＝3·[(2n)*2006]得＝3，所以数列{(2n)*2006}是首项为1，公比为3的等比数列，故2012]答案：31005三、解答题10．证明：∵在锐角三角形中，A＋B>，∴A>－B.∴0<－B<A<.又∵在(0，)内正弦函数是单调递增函数，∴sinA>sin(－B)＝cosB.即sinA>cosB，同理sinB>cosC，sinC>cosA.∴sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.11．证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，∵ad－bc＝1，∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd－ad＋bc＝0.即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.∴必有a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0.-5-\n可得a＝b＝c＝d＝0.与ad－bc＝1矛盾，∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.12．解：(1)由已知得an＋1＝an＋1，则an＋1－an＝1，又a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．故an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.因为bn·bn＋2－b＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2·2n＋1＋1)＝－2n<0，所以bn·bn＋2<b.-5-
