模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )A．1 B．0C．－1D．－1或1B [由题意知∴m＝0.]2．演绎推理“因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数”，所得结论错误的原因是( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．大前提和小前提都错误A [对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，当a>1时是增函数，当0<a<1时是减函数，故大前提错误．]3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，验证n＝1，左边应取的项是( )A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4D [当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋3＋4，故应选D.]4．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”假设的内容是( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除B [用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a，b都不能被5整除．]5．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a＝( )A．－2B．－C．D．2A [y′＝，y′|x＝3＝－，8
∵·(－a)＝－1，∴a＝－2.]6．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋i，则在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第三象限C．第二象限D．第四象限D [＝＝－，对应点在第四象限．]7．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )D [观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A、C.如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项D正确．故选D.]8．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n>1，n∈N*)的过程中，从n＝k到n＝k＋1时左边需增加的代数式是( )A．B．－C．＋D．B [从n＝k到n＝k＋1左边增加了＋，减少了，∴需增加的代数式为8
＋－＝－.]9．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”.若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于( )A．1 B．2 C．3 D．4C [面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，＝2类比＝3，故选C.]10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩D [由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.]11．如图所示，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中顶点个数为( )A．(n＋1)(n＋2)B．(n＋2)(n＋3)C．n2D．nB [第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)(n＋3)个顶点．]12．已知可导函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x)，则当a＞0时，f(a)和eaf(0)的大小关系为( )8
A．f(a)<eaf(0)B．f(a)>eaf(0)C．f(a)＝eaf(0)D．f(a)≤eaf(0)B [令g(x)＝e－xf(x)，则g′(x)＝e－x[f′(x)－f(x)]>0.所以g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，g(a)>g(0)．e－af(a)>e0f(0)，即f(a)>eaf(0)，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则|a＋bi|＝________. [由(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，得解方程组，得a＝1，b＝2，则a＋bi＝1＋2i.∴|a＋bi|＝＝.]14．由抛物线y＝x2，直线x＝1，x＝3和x轴所围成的图形的面积是________． [如图所示，S＝x2dx＝x3＝(33－13)＝.]15．观察下列不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……照此规律，第五个不等式为________．1＋＋＋＋＋＜ [左边的式子的通项是1＋＋＋…＋，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋＜.]16．设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；8
③a＝－3，b＞2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.①③④⑤ [令f(x)＝x3＋ax＋b，求导得f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，所以f(x)单调递增，且至少存在一个数使f(x)<0，至少存在一个数使f(x)>0，所以f(x)＝x3＋ax＋b必有一个零点，即方程x3＋ax＋b＝0仅有一根，故④⑤正确；当a<0时，若a＝－3，则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，易知，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小值＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使方程仅有一根，则f(x)极大值＝b＋2<0或者f(x)极小值＝b－2>0，解得b<－2或b>2，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a>0，b>0，用分析法证明：≥.[证明] 因为a>0，b>0，要证≥，只要证，(a＋b)2≥4ab，只要证(a＋b)2－4ab≥0，即证a2－2ab＋b2≥0，而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，故≥成立．18．(本小题满分12分)已知z∈C，且|z|－i＝＋2＋3i(i为虚数单位)，求复数的虚部．[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入方程|z|－i＝＋2＋3i，得出－i＝x－yi＋2＋3i＝(x＋2)＋(3－y)i，故有解得∴z＝3＋4i，复数＝＝2＋i，虚部为1.19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．[解] (1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.因为m＞0，所以1＋m＞1－m.8
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1－m)1－m(1－m,1＋m)1＋m(1＋m，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数．函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－m3＋m2－.函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝m3＋m2－.20．(本小题满分12分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．(1)若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？[解] (1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)．正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．(2)设A1B1＝am，PO1＝hm，则0<h<6，O1O＝4h，如图，连接O1B1.因为在Rt△PO1B1中，O1B＋PO＝PB，所以＋h2＝36，即a2＝2(36－h2)．8
于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝(36h－h3)，0<h<6，从而V′＝(36－3h2)＝26(12－h2)．令V′＝0，得h＝2.当0<h<2时，V′>0，V是增函数；当2<h<6时，V′<0，V是减函数．故当h＝2时，V取得极大值，也是最大值．因此，当PO1＝2m时，仓库的容积最大．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1.因此f>2a－2等价于lna＋a－1<0.令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.因此a的取值范围是(0,1)．22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．[解] (1)由S1＝a1＝得a＝1，∵an>0，8
∴a1＝1.由S2＝a1＋a2＝得a＋2a2－1＝0.∴a2＝－1.由S3＝a1＋a2＋a3＝得a＋2a3－1＝0.∴a3＝－.(2)猜想an＝－(n∈N*)．证明如下：①n＝1时，a1＝－命题成立．②假设n＝k时，ak＝－成立，则n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，即ak＋1＝－＝－，∴a＋2ak＋1－1＝0.∴ak＋1＝－.即n＝k＋1时，命题成立，由①②知，n∈N*，an＝－.8
