章末综合测评(一) 导数及其应用(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( )A．(cosx)′＝sinx B．＝cosC．＝－D．＝D [A错误，(cosx)′＝－sinx；B错误；＝0；C错误；＝－；D正确．]2．如果物体的运动方程为s＝＋2t(t＞1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是( )A．米/秒B．米/秒C．米/秒D．米/秒A [∵s＝s(t)＝＋2t，∴s′(t)＝－＋2.故物体在2秒末的瞬时速度s′(2)＝－＋2＝.]3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2A [∵y′＝＝，∴k＝y′|＝＝2，∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.]4．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )A．0B．2C．1D．－19
A [∵f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，∴f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，∴f′(1)＝1－2f′(1)－1，∴f′(1)＝0.]5．函数f(x)＝x·e－x的一个单调递增区间是( )A．[－1,0]B．[2,8]C．[1,2]D．[0,2]A [f(x)＝x·e－x，则f′(x)＝＝，令f′(x)＞0，得x＜1，故增区间为(－∞，1)，又因为[－1,0]⊂(－∞，1)，故选A.]6．函数f(x)＝exsinx在区间上的值域为( )A．[0，e]B．(0，e)C．[0，e)D．(0，e]A [f′(x)＝ex(sinx＋cosx)．∵x∈，f′(x)＞0.∴f(x)在上是单调增函数，∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f＝e.]7．一物体以速度v＝3t2＋2t(单位：m/s)做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是( )A．31mB．36mC．38mD．40mB [S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)|＝33＋32＝36(m)．]8．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是( )A．2B．1C．0D．由a确定C [f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值．故选C.]9．已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1|＞|x2|，则有( )9
A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a＜0，b＞0D．a＞0，b＜0B [∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋1有两个零点x1，x2，且|x1|＞|x2|，由图可知x1＋x2＝－＜0，且x1是极小值点，∴a＜0，b＜0.]10．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1A [f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，当x＜－2或x＞1时，f′(x)＞0，当－2＜x＜1时，f′(x)＜0，则f(x)极小值为f(1)＝－1.]11．设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)( )A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点D [f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝3，当0＜x＜3时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(0,3)上为减函数．又f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，f＝9
＋1＞0，所以y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．]12．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)A [当x＞0时，令F(x)＝，则F′(x)＝＜0，∴当x＞0时，F(x)＝为减函数．∵f(x)为奇函数，且由f(－1)＝0，得f(1)＝0，故F(1)＝0.在区间(0,1)上，F(x)＞0；在(1，＋∞)上，F(x)＜0.即当0＜x＜1时，f(x)＞0；当x＞1时，f(x)＜0.又f(x)为奇函数，∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)＞0；当x∈(－1,0)时，f(x)＜0.综上可知，f(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(3x＋sinx)dx＝__________.＋1 [(3x＋sinx)dx＝＝－(0－cos0)＝＋1.]14．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．(－ln2,2) [设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，∴点P处的切线斜率为k＝－e＝－2，∴－x0＝ln2，∴x0＝－ln2，∴y0＝eln2＝2，∴点P的坐标为(－ln2,2)．]15．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a9
的取值范围是__________．(－2,2) [令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图所示，－2<a<2时，恰有三个不同公共点．]16．将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________． [设AD＝x(0<x<1)，则DE＝AD＝x，∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x.又S△ADE＝x2，∴梯形的面积为－x2，∴s＝×(0<x<1)，则s′＝×.令s′＝0，解得x＝.当x∈时，s′<0，s为减函数；当x∈时，s′>0，s为增函数．故当x＝时，s取得极小值，也是最小值，此时s的最小值为.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)，求函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积．[解] 根据题意，得到f(x)＝，从而得到y＝xf(x)＝所以围成的面积为S＝2x2dx＋(－2x2＋2x)dx＝.18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．9
[解] (1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.∵f(x)在x＝3处取得极值，∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3.∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.(2)A点在f(x)上，由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，f′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y＝16.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.讨论f(x)的单调性．[解] f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．(1)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a＞－，则ln(－2a)＜1，故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减．③若a＜－，则ln(－2a)＞1，故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a，b的值；(2)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．[解] (1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，即解得9
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，则f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．当x∈[0,1)时，f′(x)>0；当x∈[1,2]时，f′(x)<0；当x∈(2,3]时，f′(x)>0.所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，所以9＋8c<c2，解得c<－1或c>9.故c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．21．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0可得r<5，故函数V(r)的定义域为(0,5)．(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，所以V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．9
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x(1－lnx)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna－alnb＝a－b，证明：2＜＋＜e.解：(1)因为f(x)＝x(1－lnx)，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－lnx＋x·＝－lnx.当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0.所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由题意，a，b是两个不相等的正数，且blna－alnb＝a－b，两边同时除以ab，得－＝－，即＝，即f＝f.令x1＝，x2＝，由(1)知f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且当0＜x＜e时，f(x)＞0，当x＞e时，f(x)＜0，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2＜e.要证2＜＋＜e，即证2＜x1＋x2＜e.先证x1＋x2＞2：要证x1＋x2＞2，即证x2＞2－x1，因为0＜x1＜1＜x2＜e，所以x2＞2－x1＞1，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以即证f(x2)＜f(2－x1)，又f(x1)＝f(x2)，所以即证f(x1)＜f(2－x1)，即证当x∈(0,1)时，f(x)－f(2－x)＜0.构造函数F(x)＝f(x)－f(2－x)，则F′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝－lnx－ln(2－x)＝－ln[x(2－x)]，当0＜x＜1时，x(2－x)＜1，则－ln[x(2－x)]＞0，即当0＜x＜1时，F′(x)＞0，所以F(x)在(0,1)上单调递增，所以当0＜x＜1时，F(x)＜F(1)＝0，所以当0＜x＜1时，f(x)－f(2－x)＜0成立，所以x1＋x2＞2成立．再证x1＋x2＜e：由(1)知，f(x)的极大值点为x＝1，f(x)的极大值为f(1)＝1，过点(0,0)，(1,1)的直线方程为y＝x，设f(x1)＝f(x2)＝m，当x∈(0,1)时，f(x)＝x(1－lnx)＞x，直线y＝x与直线y＝m9
的交点坐标为(m，m)，则x1＜m.欲证x1＋x2＜e，即证x1＋x2＜m＋x2＜f(x2)＋x2＜e，即证当1＜x＜e时，f(x)＋x＜e.构造函数h(x)＝f(x)＋x，则h′(x)＝1－lnx，当1＜x＜e时，h′(x)＞0，所以函数h(x)在(1，e)上单调递增，所以当1＜x＜e时，h(x)＜h(e)＝f(e)＋e＝e，即f(x)＋x＜e成立，所以x1＋x2＜e成立．综上可知，2＜＋＜e成立．9
