数系的扩充与复数的引入(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝( )A．1－2i B．1＋2iC．1＋iD．1－iC [设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.]2．设iz＝4＋3i，则z＝( )A．－3－4iB．－3＋4iC．3－4iD．3＋4iC [法一：因为iz＝4＋3i，所以z＝＝＝＝3－4i.故选C.法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由iz＝4＋3i，可得i(a＋bi)＝4＋3i，即－b＋ai＝4＋3i，所以，即，所以z＝3－4i.故选C.]3．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋iA [由已知得＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A.]4．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )A．(2,4)B．(2，－4)C．(4，－2)D．(4,2)C [z＝＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.]5．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )A．－1B．0C．1D．2B [∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i.∴解得a＝0.故选B.]6
6．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件A [因为z1＝z2，所以解得m＝1或m＝－2，所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．]7．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于( )A．iB．－iC．±1D．±iD [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，由z＋＝4，z·＝8得，⇒⇒所以＝＝＝±i.]8．如图所示，在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )A．3＋iB．3－iC．1－3iD．－1＋3iD [＝＋＝1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以C对应的复数为－1＋3i.]9．若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝( )A．B．C．－D．2C [因为＝＝－i，又复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，所以＝，即b＝－.]10．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在( )6
A．实轴上B．虚轴上C．直线y＝±x(x≠0)上D．以上都不对C [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi.∵z2为纯虚数，∴∴y＝±x(x≠0)．]11．已知0<a<2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是( )A．(1,5)B．(1,3)C．(1，)D．(1，)C [由已知，得|z|＝.由0<a<2，得0<a2<4，∴1<a2＋1<5.∴|z|＝∈(1，)．故选C.]12．设z1，z2为复数，则下列四个结论中正确的是( )A．若z＋z＞0，则z＞－zB．|z1－z2|＝C．z＋z＝0⇔z1＝z2＝0D．z1－1是纯虚数或零D [举例说明：若z1＝4＋i，z2＝2－2i，则z＝15＋8i，z＝－8i，z＋z＞0，但z与－z都是虚数，不能比较大小，故A错；因为|z1－z2|2不一定等于(z1－z2)2，故|z1－z2|与不一定相等，B错；若z1＝2＋i，z2＝1－2i，则z＝3＋4i，z＝－3－4i，z＋z＝0，但z1＝z2＝0不成立，故C错；设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则1＝a－bi，故z1－1＝2bi，当b＝0时是零，当b≠0时，是纯虚数．故D正确．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．21 [复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.]14.a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________. [＝＝1－ai，则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.又a为正实数，所以a＝.]15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．6
8 [a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.从而a＋b＝8.]16．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.4i [设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即解得∴m＝4i.]三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，(1)z是实数？(2)z是纯虚数？[解] (1)要使复数z为实数，需满足解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．(2)要使复数z为纯虚数，需满足解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．18．(本小题满分12分)已知复数z1＝1－i，z1·z2＋1＝2＋2i，求复数z2.[解] 因为z1＝1－i，所以1＝1＋i，所以z1·z2＝2＋2i－1＝2＋2i－(1＋i)＝1＋i.设z2＝a＋bi(a，b∈R)，由z1·z2＝1＋i，得(1－i)(a＋bi)＝1＋i，所以(a＋b)＋(b－a)i＝1＋i，所以解得a＝0，b＝1，所以z2＝i.19．(本小题满分12分)计算：(1)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[解] (1)原式＝＝＝＝＝＝－1＋i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.20．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z6
的共轭复数.[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②由①②联立，解得或所以＝－i，或＝－＋i.21．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．[解] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.22．(本小题满分12分)已知z为虚数，z＋为实数．(1)若z－2为纯虚数，求虚数z；(2)求|z－4|的取值范围．[解] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，则z－2＝x－2＋yi，由z－2为纯虚数得x＝2，所以z＝2＋yi，则z＋＝2＋yi＋＝2＋i∈R，得y－＝0，y＝±3，所以z＝2＋3i或z＝2－3i.(2)因为z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i∈R，所以y－＝0，因为y≠0，所以(x－2)2＋y2＝9，由(x－2)2<9得x∈(－1,5)，所以|z－4|＝|x＋yi－4|＝6
＝＝∈(1,5)．6
