模块综合测评(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( )A．它的首项是－2，公差是3B．它的首项是2，公差是－3C．它的首项是－3，公差是2D．它的首项是3，公差是－2A [由题意得即解得a1＝－2，d＝3．]2．＋1与－1的等比中项是( )A．1 B．－1 C．±1 D．C [设x为＋1与－1的等比中项，则x2＝(＋1)(－1)＝1，∴x＝±1．]3．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝( )A．B．C．2D．3D [由s＝at2＋1得v(t)＝s′＝2at，依题意v(2)＝12，所以2a·2＝12，得a＝3．]4．曲线f(x)＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是( )A．y＝7x＋4B．y＝x－4C．y＝7x＋2D．y＝x－2D [∵f′(x)＝4－3x2，∴f′(－1)＝1，∴切线方程为y＋3＝x＋1，即y＝x－2．]5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a4－a2＝3，则S11＝( )A．30B．33C．36D．66B [∵a2＋a6＝2a4，∴2a4－a2＝a6＝3，因此，S11＝＝＝11a6＝11×3＝33．故选B．]6．已知等比数列{an}(a1≠a2)的公比为q，且a7，a1，a4成等差数列，则q等于( )A．1或－B．－C．D．1B [在等比数列{an}中，由a1≠a2，得q≠1，因为a7，a1，a4成等差数列，所以a7＋a4＝2a1，8
即a4(q3＋1)＝2×，所以q6＋q3－2＝0，解得q3＝1(舍)或q3＝－2．所以q＝－．]7．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( )A．f(x)＝－x3B．f(x)＝－cosxC．f(x)＝sinx－xD．f(x)＝B [对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′(x)＝sinx，当x∈(－π，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，π)时，f′(x)>0，故f(x)＝－cosx在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f′(x)＝cosx－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝在x＝0处没有定义，所以x＝0不可能成为极值点．综上可知，答案选B．]8．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝( )A．3(3n－2n)B．3n＋2nC．3nD．3·2n－1C [由Sn＝(an－1)(n∈N*)可得Sn－1＝(an－1－1)(n≥2，n∈N*)，两式相减可得an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝3an－1(n≥2，n∈N*)．又a1＝S1＝(a1－1)，解得a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，则an＝3n．]二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．若直线y＝x＋b是函数f(x)图像的一条切线，则函数f(x)可以是( )A．f(x)＝B．f(x)＝x4C．f(x)＝sinxD．f(x)＝exBCD [直线y＝x＋b的斜率为k＝，由f(x)＝的导数为f′(x)＝－，即切线的斜率小于0，故A不正确；由f(x)＝x4的导数为f′(x)＝4x3，而4x3＝，解得x＝，故B正确；8
由f(x)＝sinx的导数为f′(x)＝cosx，而cosx＝有解，故C正确；由f(x)＝ex的导数为f′(x)＝ex，而ex＝，解得x＝－ln2，故D正确，故选BCD．]10．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S3＝2a1，则下列结论正确的是( )A．a4＝0B．S4＝S3C．S7＝0D．{an}是递减数列ABC [设等差数列{an}的公差为d，由S3＝2a1，得3a1＋3d＝2a1，即a1＋3d＝0，所以a4＝0，S4＝S3，S7＝7a1＋21d＝7(a1＋3d)＝0，故选ABC．]11．已知函数f(x)＝x＋2tanx，其导函数为f′(x)，设g(x)＝f′(x)cosx，则( )A．f(x)的图像关于原点对称B．f(x)在R上单调递增C．2π是g(x)的一个周期D．g(x)在上的最小值为2AC [f(x)＝x＋2tanx的定义域是，其定义域关于坐标原点对称，且f(－x)＝－x＋2tan(－x)＝－x－2tanx＝－(x＋2tanx)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)的图像关于原点对称，故A项正确；由f(x)＝x＋2tanx，得f′(x)＝1＋，则g(x)＝f′(x)cosx＝cosx＋．f′(x)＝1＋>0恒成立，所以f(x)在(k∈Z)上单调递增，并不是在R上单调递增，故B项错误；由g(x)＝cosx＋，得函数g(x)的定义域是，g(x＋2π)＝cos(x＋2π)＋＝cosx＋＝g(x)，故C项正确；设t＝cosx，当x∈时，t∈(0，1)，此时h(t)＝g(x)＝t＋，t∈(0，1)，根据对勾函数的单调性，h(t)在(0，1)上单调递减，∴g(x)>h(1)＝3，故D项错误，故选AC．]8
12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫作格点．若函数图像恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数．已知函数：①y＝sinx;②y＝cos；③y＝ex－1；④y＝x2．其中为一阶格点函数的序号有( )A．①B．②C．③D．④AC [对于①，注意到y＝sinx的值域是[－1，1]；当sinx＝0时，x＝kπ(k∈Z)，此时相应的整数x＝0；当sinx＝±1时，x＝kπ＋(k∈Z)，此时没有相应的整数x，因此函数y＝sinx仅过唯一的整点(0，0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y＝cos不是一阶格点函数．对于③，令y＝ex－1＝k(k∈Z)得ex＝k＋1>0，x＝ln(k＋1)，仅当k＝0时，x＝0∈Z，因此函数y＝ex－1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y＝x2的图像经过多个整点，如点(0，0)，(1，1)，因此函数y＝x2不是一阶格点函数．综上所述知选AC．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知正项递增等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a7＝20，a4·a7＝64，则＝__________． [设正项递增等比数列{an}的公比为q，且q>1，由，且a7>a4，解得：，因为a7＝a4q3，即16＝4q3，解得q3＝4，所以＝＝＝＝＝．]14．已知f(x)＝x(2020＋lnx)，f′(x0)＝2021，则x0＝________．1 [f′(x)＝2020＋lnx＋1＝2021＋lnx，又∵f′(x0)＝2021，∴f′(x0)＝2021＋lnx0＝2021，则lnx0＝0，x0＝1．]15．已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________．10 [观察可知a1＋a2＝2，a3＋a4＝2，…，a9＋a10＝2，故a1＋a2＋a3＋…＋a10＝10．]16．函数f(x)＝sin2x在原点(0，0)处的切线方程为__________，请你举出与函数f(x8
)＝sin2x在原点处具有相同切线的一个函数是__________．(本题第1空2分，第2空3分)y＝2x y＝x2＋2x(答案不唯一) [由f(x)＝sin2x得f′(x)＝2cos2x，所以函数f(x)在原点(0，0)处的切线斜率为k＝f′(0)＝2，所以函数f(x)在原点(0，0)处的切线方程为：y＝2x．与函数f(x)＝sin2x在原点处具有相同切线的一个函数，则函数在原点(0，0)处的导数值为2的函数即可．y＝x2＋2x，y′＝2x＋2，所以函数在原点(0，0)处的切线方程为：y＝2x．]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在①S8＝72，②S5＝6a2，③S6＝S4＋a5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝6，__________，若数列{bn}满足bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Tn．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．[解] (1)选择①，设公差为d，由S8＝72，a3＝6得，，解得，所以an＝2n，又因为bn＝2an，所以bn＝22n＝4n，所以数列{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝41＋42＋…4n＝＝(4n－1)．(2)选择②，设公差为d，因为S5＝6a2，所以可得5a3＝6a2，又因为a3＝6，所以a2＝5，所以d＝1，所以an＝n＋3．又因为bn＝2an，所以bn＝2n＋3＝8×2n，所以数列{bn}是以16为首项，2为公比的等比数列，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝8(21＋22＋…＋2n)＝8×＝16(2n－1)．(3)选择③，设公差为d，因为S6＝S4＋a5，可得S6－S4＝a5，即a6＋a5＝a5，所以a6＝0，又因为a3＝6，所以d＝－2．所以an＝－2n＋12．又因为bn＝2an，所以bn＝2－2n＋12＝212×2－2n，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝212×＝212×＝212×＝．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋bx，其中a、b∈R，且曲线y＝f(x8
)在点(0，f(0))处的切线斜率为3．(1)求b的值；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求a的值．[解] (1)f′(x)＝a2x2－4ax＋b，由题意得f′(0)＝b＝3．∴b＝3．(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极大值，∴f′(1)＝a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3．①当a＝1时，f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1)1(1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗由上表知，函数f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意．②当a＝3时，f′(x)＝9x2－12x＋3＝3(3x－1)(x－1)，x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗由上表知，函数f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意．综上所述，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，a的值为1．19．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝6，Sn＝an＋1＋1．(1)证明：数列{Sn－1}为等比数列，并求出Sn；(2)求数列的前n项和Tn．[解] (1)证明：由已知Sn＝(Sn＋1－Sn)＋1，整理得Sn＋1＝3Sn－2，所以Sn＋1－1＝3(Sn－1)，令n＝1，得S1＝a2＋1＝4，所以S1－1＝3，所以{Sn－1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以Sn－1＝(S1－1)×3n－1＝3n，所以Sn＝3n＋1．(2)由(1)知，Sn＝3n＋1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－＝2×3n－1，当n＝1时，a1＝S1＝4，8
所以an＝所以＝所以Tn＝＋＋…＋＝＋＝－．20．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．[解] (1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6lnb＝0，解得a＝2，b＝1．(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2．当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．21．(本小题满分12分)已知等差数列{an}满足a3＝4，a5＝6，数列{log2bn}是以1为首项，公差为1的等差数列．(1)求an和bn；(2)若cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn．[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，依题意，2d＝a5－a3＝6－4＝2，∴d＝1，∴a1＝2，∴an＝2＋(n－1)×1＝n＋1．∵数列{log2bn}是以1为首项，公差为1的等差数列，∴log2bn＝1＋(n－1)×1＝n，即bn＝2n．(2)由(1)得cn＝(n＋1)·2n，∴Tn＝2·21＋3·22＋4·23＋…＋(n＋1)·2n，①8
2Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，②①－②得－Tn＝2·21＋22＋23＋24＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1＝2＋－(n＋1)·2n＋1＝－n·2n＋1，∴Tn＝n·2n＋1．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1．(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．[解] (1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－6x＋3．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；当x∈(－1，＋1)时，f′(x)<0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．(2)由f(2)≥0，得a≥－．当a≥－，x∈[2，＋∞)时，f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3＝3·(x－2)>0，所以f(x)在[2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0．综上，a的取值范围是．8
