各地解析分类汇编:立体几何1.【云南省玉溪一中2022届高三上学期期中考试文】设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】若直线相交，则能推出，若直线不相交，则不能推出，所以“，”是“”的必要不充分条件，选C.2【云南省玉溪一中2022届高三第四次月考文】已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为的正方形，主视图与左视图是边长为的正三角形，则其全面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知，该几何体为正四棱锥，底面边长为2，侧面斜高为2，所以底面积为，侧面积为，所以表面积为，选B.3【云南省玉溪一中2022届高三第四次月考文】四面体中，则四面体外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分别取AB,CD的中点E,F，连结相应的线段，由条件可知，球心在上，可以证明为中点，，,所以，球半径-21-\n，所以外接球的表面积为，选A.4【山东省聊城市东阿一中2022届高三上学期期初考试】设直线m、n和平面,下列四个命题中，正确的是（）A.若B.若C.若D.若【答案】D【解析】因为选项A中，两条直线同时平行与同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选项B中，只有Mm,n相交时成立，选项C中，只有m垂直于交线时成立，故选D5【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测（文）】一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆.其中正确的是A.①B.②C.③D.④【答案】C【解析】当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时主视图和左视图应该相同，所以俯视图不可能是圆，选C.6【云南省玉溪一中2022届高三第三次月考文】已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）-21-\nA．16B．4C．8D．2【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积，选B.7【山东省兖州市2022届高三9月入学诊断检测文】设是直线，a，β是两个不同的平面A.若∥a，∥β，则a∥βB.若∥a，⊥β，则a⊥βC.若a⊥β，⊥a，则⊥βD.若a⊥β,∥a，则⊥β【答案】B【解析】根据线面垂直的判定和性质定理可知，选项B正确。8【山东省兖州市2022届高三9月入学诊断检测文】某几何体的三视图如下图所示，它的体积为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由三视图可知该组合体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，那么根据体积公式可得组合体的体积为，选C.9【云南省昆明一中2022届高三新课程第一次摸底测试文】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为-21-\nA．B．C．D．32【答案】B【解析】根据三视图可知，这是一个四棱台，，，所以表面积为，选B.10【云南省昆明一中2022届高三新课程第一次摸底测试文】如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1相交于点E，则点E为△A1BC1的A．垂心B．内心C．外心D．重心【答案】D-21-\n【解析】如图，,所以,且为的中点，选D.11【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测（文）】对于直线m，n和平面，有如下四个命题：（1）若（2）若（3）若（4）若其中真命题的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】（1）错误。（2）当时，则不成立。（3）不正确。当有，又所以有，所以只有（4）正确。选A.12【云南师大附中2022届高三高考适应性月考卷（三）文】一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为正视图111侧视图俯视图A．1B．C．D．【答案】B-21-\n【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图，其中正视图为，是边长为2的正三角形，，且，底面为等腰直角三角形，，所以体积为，故选B．13【天津市新华中学2022届高三上学期第二次月考文】如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是A.24B.12C.8D.4【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是有两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，所以三角形的底面积为，所以三棱柱的体积为，所以该几何体的体积为，选B.14【山东省临沂市2022届高三上学期期中考试数学文】某几何体的正视图和侧视图均如右图，则该几何体的俯视图不可能有是-21-\n【答案】D【解析】因为该几何体的正视图和侧视图是相同的，而选项D的正视图和和侧视图不同。15【北京四中2022届高三上学期期中测验数学（文）】设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题：①若；②若.那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题【答案】D【解析】若，则或异面，所以①错误。同理②也错误，所以选D.16【云南师大附中2022届高三高考适应性月考卷（三）文】．正三棱锥内接于球，且底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为．【答案】【解析】如图，设三棱锥的外接球球心为O，半径为r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，，M为正的中心，则DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以．17【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测（文）】在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥外接球的表面积为____________.【答案】【解析】因为-21-\n侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，所以把正三棱锥补成一个正方体，则正方体的体对角线等于外接球的直径，正方体的体对角线长，设外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为.18【云南省玉溪一中2022届高三上学期期中考试文】某四面体的三视图如上图所示，该四面体四个面的面积中最大的是【答案】10【解析】由三视图还原几何体如下图，8,6,，10显然面积的最大值为10．该四面体四个面的面积中最大的是PAC，面积为10。19【山东省临沂市2022届高三上学期期中考试数学文】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则四面体A—EFB的体积V等于。【答案】-21-\n【解析】连结BD交AC与O,则OA为四面体A—EFB的高且,,所以。20【北京四中2022届高三上学期期中测验数学（文）】湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm，深2cm的空穴，则该球的半径是______cm，表面积是______cm².【答案】10，400π【解析】设球的半径为r，画出球与水面的位置关系图，如图：由勾股定理可知，，解得r=10.所以表面积为。21【北京四中2022届高三上学期期中测验数学（文）】某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是______.【答案】-21-\n【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱，所以体积为。22【北京四中2022届高三上学期期中测验数学（文）】（本小题满分13分）如图，正三棱柱中，D是BC的中点，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）证明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴BD是B1D在平面ABC上的射影在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD，根据三垂线定理得，AD⊥B1D（Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE.∵AA1=AB∴四边形A1ABB1是正方形，-21-\n∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A1C.…………………………7分∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.……………………9分（Ⅲ）……13分23【山东省济南外国语学校2022届高三上学期期中考试文科】（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。（1）求证：CE⊥平面PAD；（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积.【答案】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE,因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PAAD=A,所以CE⊥平面PAD…………5分(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以==,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等于………….12分24【山东省聊城市东阿一中2022届高三上学期期初考试】（本小题满分14分）如图，正三棱柱中，为的中点，为边上的动点.（Ⅰ）当点为的中点时，证明DP//平面；（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.-21-\nA1B1CBPAC1D·【答案】25【云南省玉溪一中2022届高三第三次月考文】（本小题满分12分）如图，在长方体，中，，点在棱AB上移动.（1）证明：；（2）当为的中点时，求点到面的距离.-21-\n【答案】解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则…………2分（1）………………6分（2）因为为的中点，则，从而，，设平面的法向量为，则也即，得，从而，所以点到平面的距离为………………………………………………12分26【山东省聊城市东阿一中2022届高三上学期期初考试】本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；-21-\n（3）线段上是否存在点，使//平面？若存在，求出；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）证明：取中点，连结，．因为，所以．因为四边形为直角梯形，，，所以四边形为正方形，所以．所以平面．所以．………………4分（2）解法1：因为平面平面，且所以BC⊥平面则即为直线与平面所成的角设BC=a，则AB=2a，，所以则直角三角形CBE中，即直线与平面所成角的正弦值为．………………8分解法2：因为平面平面，且，所以平面，所以．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，则．所以，平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．………8分-21-\n（3）解：存在点，且时，有//平面．证明如下：由，，所以．设平面的法向量为，则有所以取，得．因为，且平面，所以//平面．即点满足时，有//平面．………………12分27【山东省兖州市2022届高三9月入学诊断检测文】(本小题满分12分)如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.(1)求证：；(2)若∠，M为线段AE的中点，求证：∥平面.【答案】(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，，…………2分又已知，所以平面OCE.…………４分所以，即OE是BD的垂直平分线，所以.…………６分(II)取AB中点N，连接，∵M是AE的中点，∴∥，…………８分∵△是等边三角形，∴.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，-21-\n所以ND∥BC，…………1０分所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.…………12分28【云南省玉溪一中2022届高三上学期期中考试文】（本题满分12分）如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．【答案】(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形．因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ.(2)解：设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝a3.由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，所以棱锥P－DCQ的体积V2＝a3.故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1:1.29【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测（文）】（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面平面ABCD，AB//DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，.（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；-21-\n（2）求四棱锥P—ABCD的体积.【答案】30【云南师大附中2022届高三高考适应性月考卷（三）文】（本小题满分12分）如图5，已知三棱锥中，⊥，为的中点，为的中点，且△为正三角形．ABMCDP-21-\n（1）求证：⊥平面；（2）若，，求点到平面的距离．【答案】（Ⅰ）证明：如图4，∵△PMB为正三角形，且D为PB的中点，∴MD⊥PB．又∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD//AP，∴AP⊥PB．图4又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，，∴BC⊥平面APC，…………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：记点B到平面MDC的距离为h，则有.∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3，，，∴．又，．在中，，又，，，即点B到平面MDC的距离为．……………………………………………（12分）31【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测（文）】（本小题满分12分）如图，在多面体ABC—A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B，B1C1//BC，-21-\n.（I）求证：面；（II）求证：AB1//面A1C1C.【答案】32【天津市新华中学2022届高三上学期第二次月考文】如图，为等边三角形，为矩形，平面平面，，、、分别为、、中点，。-21-\n（1）求与平面所成角；（2）求证：；（3）求多面体的体积。【答案】解：（1）取中点，连、∵平面平面，交线为∵正∵平面即为所求。（2）∵正∵是中点∵平面平面，交线为平面平面平面-21-\n（3）33【云南省玉溪一中2022届高三第四次月考文】（本小题满分12分）如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【答案】解:（Ⅰ）以D为原点建立如图空间直角坐标系，则从而因为所以（Ⅱ）-21-
